Distribución Poisson Correlacionada

Question

$X_1$ Y$X_2$ son variables estocásticas discretas. Ambos pueden ser modelados por un proceso de Poisson con tasas de llegada$\lambda_1$ y$\lambda_2$, respectivamente.

$X_1$ Y$X_2$ tienen una correlación constante$\rho$.

¿Existe una ecuación analítica que describa la función de densidad de probabilidad:

$P(X_1= i,X_2= k)$

Answer 1

Considerar este modelo que podría generar correlaciona variables de Poisson. Vamos $Y$, $Y_1$ y $Y_2$ tres independiente de Poisson variable con parámetros $r$, $\lambda_1$ y $\lambda_2$. Vamos $$X_i=Y_i+Y$$ for $i=1,2$. Then $X_1$ and $X_2$ are both Poisson with parameters $\lambda_1$ and $\lambda_2$. They have the correlation $$\rho=\frac{r}{\sqrt{(\lambda_1+r)(\lambda_2+r)}}$$ Ahora la distribución conjunta puede ser derivada como $$P[X_1=i,X_2=j]=e^{-(r+\lambda_1+\lambda_2)}\sum_{k=0}^{i\wedge j}\frac{r^k}{k!}\frac{\lambda_1^{(i-k)}}{(i-k)!}\frac{\lambda_1^{(j-k)}}{(j-k)!}$$ En el caso de un bivariante proceso de Poisson es inmediata a partir de aquí.

Usted puede mirar el Johnson y Kotz libro sobre multivariante distribuciones discretas para obtener más información (construcción de un bivariante distribución de Poisson no es única).

Answer 2

Usted no ha dado suficiente información para decir lo que su distribución conjunta es. Pero tal vez la más simple posibilidad es esta: \begin{align} X_1 & = Y_1 + Y_2 \\ X_2 & = Y_2 + Y_3 \end{align} donde $Y_1,Y_2,Y_3$ son independientes de Poisson distribuido variables aleatorias con las expectativas de $\mu_1,\mu_2,\mu_3$, y, por supuesto,$\mu_1+\mu_2=\lambda_1$$\mu_2+\mu_3=\lambda_2$. Recordemos que la varianza de una distribución de Poisson distribuida variable aleatoria es el mismo que su valor esperado. Entonces la correlación es $\rho$ si $$ \operatorname{cov}(X_1,X_1) = \rho\sqrt{\operatorname{var}(X_1)\operatorname{var}(X_2)}=\rho\sqrt{\lambda_1\lambda_2}. $$ La covarianza es $$ \operatorname{cov}(X_1,X_1) = \operatorname{cov}(Y_1+Y_2,Y_2+Y_3) = \operatorname{var}(Y_2)=\mu_2. $$ Desde allí se puede pensar acerca de los posibles valores de $\mu_1,\mu_2,\mu_3$ como funciones de $\lambda_1,\lambda_2$.