¿Se puede mostrar esto:$\sqrt[3]{a\sqrt[3]{a\sqrt[3]{a\dots}}} = \sqrt a$?

Question

ps

Solo por diversión. Me gustaría leer la prueba de esto si existe. Cualquier referencia sería apreciada.

Answer 1

Deje$x_n = \sqrt[k]{a\sqrt[k]{a\sqrt[k]{a\sqrt[k]{a\sqrt[k]{a\sqrt[k]{a\sqrt[k]{a\sqrt[k]{a\sqrt[k]{a\cdots}}}}}}}}}$, donde$\sqrt[k]{\cdot}$ aparece$n$ times. Demostrar que esta secuencia es monótona y limitada. Ahora configurando$\lim_{n \to \infty} x_n = x$, obtenemos$$x = \sqrt[k]{ax} \implies x^k = ax \implies x^{k-1} = a \implies x = \sqrt[k-1]{a}$ $ En su caso,$k=3$.

Answer 2

Vamos$\displaystyle b=\sqrt[3]{a\cdot\ \underbrace{\sqrt[3]{a\sqrt[3]{a\sqrt[3]{a\sqrt[3]{a\sqrt[3]{a\sqrt[3]{a\sqrt[3]{a\sqrt[3]{a\cdots}}}}}}}}}_{\text{This is $ b$, which is allegedly $ \ sqrt a$.}}}$.

Entonces$\displaystyle b = \sqrt[3]{ab}$, así que$b^3 = ab$, y luego$b^2 = a$. Así,$b = \sqrt a$.

Si ponemos$\sqrt{a}$ en lugar de la expresión que se dice que es$b=\sqrt{a}$, obtenemos$\sqrt[3]{a\sqrt{a}}$. Y es fácil ver que eso es realmente$\sqrt a$.

En cuanto a la convergencia: let$g(x) = (ax)^{1/3}$. La pregunta es el comportamiento de la secuencia $$ a, \ g (a), \ g (g (a)), \ g (g (g (a))), \ \ ldots \. $$ Para$x$ entre$\sqrt{a}$ y$a$, tenemos$0<g'(x)<1/3$, así que$g$ es una contracción y por lo tanto tiene un único punto fijo atractivo.

Answer 3

Tomando la "redefinición" como$\prod_{i=1}^\infty a^{\frac 1{3^i}}$, inmediatamente tenemos$\sum_{i=1}^\infty \frac 1{3^i}=\frac 12$, que es el efecto de sumar los exponentes como ocurriría con el producto descrito. Por lo tanto, tenemos$$\prod_{i=1}^\infty a^{\frac 1{3^i}}=\sqrt a$ $

Answer 4

Otra manera de ir es mostrar que$x_n=a^{b_n}$ donde$b_n$ satisface

$$ b_1 = \ frac13 \ quad \ text {y} \\ b_ {n 1} = (1 b_n) \ frac13 $$

Luego muestre$\lim b_n=\frac12$ de manera similar a la respuesta de user17762.

Answer 5

Lo que tenemos es el$lim_{n\to\infty}$$a^{\frac{1}{3}}a^{\frac{1}{9}}a^{\frac{1}{27}}..a^{\frac{1}{3^n}}$.

Uso de la propiedad$(a^b)(a^c)=a^(b+c)$

Obtenemos:

Unesdoc.unesco.org unesdoc.unesco.org

El exponente es de hecho es una serie geométrica que tiene un valor de$a^{\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{27}+...\frac{1}{3^n}}$ así que:

Obtenemos que su expresión sea$(1/(1-(1/3))-1=\frac{1}{2}$