La correcta aceleración en la fórmula que usted está tratando de obtener se refiere a lo que se mide en el marco inercial de forma instantánea co-movimiento con la partícula, y no en la aceleración de la co-movimiento de los fotogramas de la partícula donde la medida de la aceleración es cero.
Esto es como me gustaría hacer la derivación utilizando un 3-vector o 4-vector de enfoque:
3-vector enfoque
Vamos marcos de $S$ $S'$ se mueven a una velocidad constante, y $p$ ser un acelerado punto. La estrategia es encontrar cómo la aceleración de la $p$ transforma entre el$S$$S'$, y, a continuación, hacer que la velocidad de $S'$ igual a la velocidad instantánea de $p$, lo que nos da la relación entre el buen aceleración y de laboratorio de aceleración de $p$. Sin pérdida de generalidad y para simplificar las cosas, $p$ acelera a lo largo de $x$, e $S'$ se mueve a lo largo de la $x-\text{axis}$ a velocidad constante $v$ como de costumbre.
En $S'$, las coordenadas de $p$ $(x',y',z',t')$ que puede ser expresada en términos de la $S$ coordenadas a través de la transformación de Lorentz. El uso de estos también podemos encontrar $\frac{dt'}{dt}$:
$$ x' =\gamma(x-vt),\quad t' = \gamma(t - vx/c^2),\quad \frac{dt'}{dt}= \gamma(1-\frac{vu_x}{c^2})$$
$p$ es acelerado a lo largo de la x'-eje:
$$\begin{align*}
\frac{d^2x'}{dt'^2}
&=\frac{d}{dt'}\frac{dt}{dt'}\frac{d}{dt}\gamma(x - vt)
=\frac{dt}{dt'}\frac{d}{dt}\frac{u_x - v}{1-\frac{vu_x}{c^2}}
=\frac{1}{\gamma(1-\frac{vu_x)}{c^2}}
\cdot
\frac{1}{\gamma^2(1-\frac{vu_x}{c^2})^2}
\frac{d^2x}{dt^2}\\\
&=\frac{1}{\gamma^3(1-\frac{vu_x}{c^2})^3}\frac{d^2x}{dt^2}
\end{align*}$$
Ahora estamos haciendo la $S'$ el co-movimiento y por lo tanto de marco adecuado de $p$ $u_x$ la velocidad de $p$ $S$ que ahora se establece igual a $v$, dando por fin
$$\frac{d^2x'}{dt'^2} = \gamma^3\frac{d^2x}{dt^2}$$
4-vector enfoque
El cuatro de aceleración está dada por
$$\left(
{\gamma_u}^4\frac{\mathbf{a\cdot u}}{c},
{\gamma_u}^2\mathbf{a}+
{\gamma_u}^4\frac{(\mathbf{a\cdot u)}}{c^2}\mathbf{u}
\right)$$
En el marco adecuado donde $\mathbf{u=0}$, este de inmediato se simplifica a $(0,\mathbf{a_p})$. Acabamos de Lorentz de transformar la parte de tiempo para establecer la relación entre el laboratorio y la adecuada aceleraciones
$$
\begin{align*}
\gamma^4\frac{\mathbf{a_lv}}{c^2}&=
\gamma\left(0 + \frac{\mathbf{va_p}}{c^2}\right)\\
\mathbf{a_p}&=\gamma^3\mathbf{a_l}
\end{align*}
$$
el método en cuestión
No me queda claro cuál es su estrategia, pero podría ser basadas en los 3-vector enfoque de arriba:
$$\frac{dx}{d \tau} = \frac{dx}{dt} \frac{dt}{d \tau} = \gamma \frac{dx}{dt}$$
donde se utilizó $\frac{dt}{d \tau} = \gamma $
Correcto
Ahora,
$$\frac{d^2 x}{d \tau^2} = \frac{ d}{d \tau}( \gamma \frac{dx}{dt}) = \frac{d \gamma}{d \tau} \frac{dx}{dt} + \gamma^2 \frac{ d^2 x}{dt^2} $$
Esto no va a funcionar porque $\gamma$ es una función de la velocidad relativa $v$ entre los dos cuadros, donde la aceleración se mide, y mantener esta velocidad constante:
$$\frac{d^2 x}{d \tau^2} = \frac{ d}{d \tau}( \gamma \frac{dx}{dt}) = \gamma^2 \frac{ d^2 x}{dt^2} $$
El término en el lado derecho no es una aceleración de cualquier marco, ya que mezcla el espacio de coordenadas del marco apropiado con el tiempo de coordenadas del laboratorio de marco. Es necesario transformar $x$ $x'$el uso de la transformación de Lorentz $x=\gamma(x' + vt)$, de modo que finalmente, manteniendo $\gamma$ $v$ constante:
$$\frac{d^2 x}{d \tau^2} = \gamma^2 \frac {d^2x}{dt^2} = \gamma^2\frac {d^2}{dt^2}\gamma (x' + vt)= \gamma^3\frac{d^2x'}{dt^2}$$
