Polynomial$p(x) = 0$ para todos los$x$ implica que los coeficientes de polinomio son cero

Question

Tengo curiosidad de saber por qué lo siguiente es verdadero. El texto que estoy leyendo es "Una Introducción al Análisis Numérico" por Atkinson, 2ª edición, página 133, de la línea 4.

$p(x)$ es un polinomio de la forma:

$$ p(x) = b_0 + b_1 x + \cdots + b_n x^n$$

Si $p(x) = 0$ todos los $x$,$b_i = 0$$i=0,1,\ldots,n$.

¿Por qué es esto cierto? Por ejemplo, para $n=2$, puedo probar, primero,$b_0=0$, a continuación, establezca $x=2$ para obtener un sistema lineal de dos ecuaciones. Entonces puedo probarlo $b_1=b_2 = 0$. Del mismo modo, para $n=3$, la primera vez que prueban $b_0=0$, calcular el rango de la resultante de sistemas de ecuaciones lineales. Que muestra que $b_1=b_2=b_3=0$. Pero si $n$ es muy grande, no puedo mantener manualmente la resolución de sistemas de ecuaciones. ¿Hay algún otro argumento para mostrar todos los coeficientes deben ser cero cuando el polinomio es siempre cero para todos los $x$?

Gracias.

Answer 1

Tenga en cuenta que$p(x)=0$ implica derivados de todos los pedidos también son$0$. Deje$x=0$ en$p(x) = b_0 + b_1 x + \cdots + b_n x^n$ para obtener$b_0 = 0$.

Ahora distingue ambos lados:$p'(x) = b_1 + 2b_2 x + 3b_3 x^2 + \cdots + nb_n x^{n-1} $. Deja$x=0$ de nuevo, y obtenemos ese$b_1=0$.

Si seguimos diferenciando y la sustitución$x=0$ obtendremos ese$b_k=0$ para$k=0,1,2,\cdots, n$. Esta idea se puede convertir fácilmente en una prueba de inducción rigurosa.

Un buen corolario de este resultado es que dos polinomios son iguales si y sólo si tienen el mismo grado y coeficientes.

Answer 2

SUGERENCIA $\ $ UN polinomio distinto de cero sobre un campo (o dominio) no tiene más raíces de su grado, como está demostrado fácilmente por inducción y el Teorema de Factor. De hecho, si todos los naturales era una raíz, entonces el polinomio sería divisible por $\rm\:(x-1)\:(x-2)\:\cdots\:(x-n)\:$ todos los $\rm\:n\in \mathbb N\:,\:$ que produce una contradicción para $\rm\:n\:$ mayor que el grado del polinomio.

Tenga en cuenta que la prueba de la declaración depende de manera crucial de la hipótesis de que el coeficiente de anillo es una parte integral de dominio, es decir, un anillo de satisfacciones $\rm\:ab = 0\iff a=0\ \ or\ \ b=0\:.\:$ Sobre los no-dominios tales como los enteros modulo $\rm\:m\:$ no prime, polinomios puede tener más raíces de su grado. De hecho, si esto es cierto, entonces se puede utilizar tal raíces factor de $\rm\:m\:,\:$ ver aquí.

Answer 3

Si está dispuesto a aceptar$\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty}\frac{1}{x^{m}}=0$ y$\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty}x^m=\infty$ para todo$m>0$, entonces puede argumentar de la siguiente manera. Supongamos que tiene un polinomio$f(x)=b_nx^n+ \ldots b_0$ con$b_n \neq 0$ y$n\geq 1$, entonces$$\lim_{x\rightarrow \infty}f(x)=\lim_{x \rightarrow \infty} x^n(b_n+ \ldots \frac{a_0}{x^n})=\lim_{x \rightarrow \infty} x^nb_n=\infty.$ $

Dado que la función constante$0$ no tiene esta propiedad, no puede ser igual a un polinomio con grado mayor o igual a$1$.

Answer 4

Deje $n\in \mathbb{N}$, y $$p(x)=b_0+b_1x+\ldots +b_nx^n$$ a polynomial of degree at most $n$. If $p(x)=0$ for every $x$, then $b_i=0$ for $i=0,\, 1,\ldots\,$n.

Prueba:

Por inducción en $n$:

Si $\deg(p)\leq 1$,$p(x)=b_0+b_1x$. Desde $p(0)=p(1)=0$ obtener $b_0=b_1=0$.

Supongamos que para cualquier $$r(x)=c_0+c_1x+\ldots +c_nx^n$$ of degree at most $n$, if $r(x)=0$ for every $x$, then $c_i=0$ for $i=0,\, 1,\ldots\ n$. Let $$p(x)=b_0+b_1x+\ldots +b_{n+1}x^{n+1}.$$ Suppose that $p\equiv 0$. Since $p(0)=0$, you get that $b_0=0$. A partir de aquí, tengo dos posibles argumentos. La primera, que fue mi original, es como sigue:

Tenemos $$p(x)=b_1x+b_2x^2+\ldots+b_{n+1}x^{n+1}=x(b_1+b_2x+\ldots+b_{n+1}x^{n}).$$ Then for all $x$, $$\begin{align*} 0&= p(x)\\ 0&= x(b_1+b_2x+\ldots+b_{n+1}x^{n}).\end{align*}$$ Entonces para cualquier $x\neq 0$, $$q(x):=b_1+b_2x+\ldots+b_{n+1}x^{n}=0$$ Si $q\not\equiv 0$, entonces tenemos un polinomio de grado en la mayoría de las $n$ con una infinidad de raíces. Esto no puede ser, por lo tanto,$q\equiv 0$. Ahora, $\deg(q)\leq n$$q\equiv 0$, por lo tanto, por la hipótesis de inducción, $b_i=0$$i=1,\,\ldots ,\, n+1$.

El segundo argumento fue inspirado por @Ragib Zaman la respuesta. Sólo se diferencian ambos lados de $p(x)=0$, luego $$b_1+2b_2x+\ldots+(n+1)b_{n+1}x^n=0$$ for all $x$. By the induction hypothesis, $kb_k=0$ for $k=1,\,\ldots,\,n+1$, and this implies that $b_k=0$ for $k=1,\,\ldots,\,n+1$

Desde $b_0=0$, esto demuestra que $b_i=0$$i=0,\, 1,\ldots,\, n+1$.

Answer 5

Un polinomio puede ajustarse de manera única conociendo su valor en$d+1$ puntos, donde$d$ es el grado del polinomio. Si es 0 en todos los puntos, eso es claramente más de$d+1$ puntos.

Pero también sabemos que un polinomio puede escribirse como$(x-r_0)(x-r_1)...(x-r_k)$, donde el$r_i$ son las raíces del polinomio (posiblemente complejas). De nuevo, si hay un número infinito de raíces ...