Suave y cerrada curva plana real que se intersecta a sí misma en infinitos puntos

Question

¿Puede una curva plana real cerrada y lisa intersectarse a sí misma en infinitos puntos? Parece intuitivamente obvio que la respuesta debería ser no, pero no tengo idea de cómo probar esto o construir un contraejemplo. Aquí por liso Quiero decir $C^1$ . Si la respuesta es no, a lo que $C^k$ ¿tenemos que movernos para que se cumpla esta condición geométrica?

Editar: He aquí un intento de formalizar lo anterior: Que $C$ ser una curva cerrada y $P$ un punto en su imagen. Decimos que $C$ se intersecta a sí mismo en P, si por todos parametrizaciones $f: [a,b] \to C$ (que son de la misma $C^k$ clase como C), la ecuación $f(x)=P$ tiene al menos dos soluciones en $[a,b]$ . Creo que esto funcionaría para lo que tenía en mente al plantear esta pregunta.

Por cierto, no tengo ni idea de si esto es lo mismo con el intersección transversal definición propuesta a continuación.

Answer 1

¿Qué tal si $y=x^2 \sin \frac 1x$ y $y=0$ en $x \in [0,1]$ además de un giro suave en cada extremo?

Answer 2

Aquí hay un ejemplo menos trivial. La función

$$f(x)= \begin {cases} 0& \quad \text {if} \quad x=0 \\ x^p \sin (1/x) & \text {otherwise} \end {cases}$$

es tan suave como quieras (haciendo $p$ grande) pero cruza la línea cero infinitamente a menudo para $x \in [0,1]$ . A partir de esta función se puede hacer fácilmente un bucle cerrado que se intersecta infinitamente a menudo de esta manera.