¿Es incorrecto poner valores absolutos alrededor del argumento de un logaritmo obtenido por integración?

Question

Siempre me han enseñado que al integrar una función de la forma $f'(x)/f(x)$ para poner un valor absoluto alrededor del argumento del logaritmo resultante. Por ejemplo:

$$\int\frac1{x}\mathrm dx = \log{|x|} + c$$

La razón que me dieron fue que 'los logaritmos no están definidos para números negativos', me parece un poco tramposo simplemente lanzar valores absolutos alrededor del argumento. Además, he pensado en un caso en el que esto produciría un resultado erróneo;

$$\int_{-1}^1\frac1{x}\mathrm dx = \log|1| - \log|-1| = 0$$

Sin embargo, la forma correcta debería ser ésta:

$$\int_{-1}^1\frac1{x}\mathrm dx = \log(1) - \log(-1) = 0 - i\pi = -i\pi$$

Edito: Puede que me equivoque, pero la integral de arriba, ignorando la singularidad (siento no haber podido pensar en un ejemplo mejor para ilustrar mi punto con -1 y cambiarlo ahora haría que las respuestas y comentarios de la gente parecieran off-topic), debería ser correcta debido a la identidad de Euler:

$e^{i\pi} = -1 \implies \log(-1) = i\pi$

¿Podría alguien explicarlo mejor?

Gracias

Answer 1

La función $1/x$ es continua en $(0,+\infty)$ ; por lo tanto, tiene una primitiva, que resulta ser $\log x+C$ . Por otra parte, $1/x$ también es continua en $(-\infty,0)$ y su primitiva es $\log(-x)+C=\log|x|+C$ . Ponerlo todo junto, $\log|x|+C$ es la primitiva de $1/x$ en $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ .

La integral definida $\int_{-1}^1\frac{dx}{x}$ no existe ni en el sentido de Riemann ni en el sentido de Lebesgue. El valor principal de Cauchy de la integral se define como $$ \lim_{\epsilon\to0}\int_{-1}^{-\epsilon}+\int_{\epsilon}^1\frac{dx}{x}. $$

Answer 2

La integral técnicamente ni siquiera converge, así que ni hablar. Sin embargo, para integrales sobre valores singulares, puedes usar la función Valor principal de Cauchy :

$$ \int_{-1}^{-\epsilon} \frac{1}{x} dx + \int_{\epsilon}^1 \frac{1}{x} dx $$

como $\epsilon\to 0$ . Obsérvese que estas integrales se aniquilan entre sí, es decir, se cancelan mutuamente, por lo que obtenemos una v.p. de Cauchy de $0$ . Además, tu integral no puede salir a $-i\pi$ porque la función $1/x$ es siempre real de verdad $x$ . ¿Cuándo puedes sumar números reales y obtener uno imaginario?

Se puede ver visualmente que si el gráfico de $ \log |x|$ tiene derivada igual a $1/x$ por positivo $x$ debe tener el negativo de $1/x$ para la derivada en $-x$ por lo que, cuando se trata de números reales, tiene sentido utilizar $\log |x|$ como antiderivada de $1/x$ .

$\hskip 2.3 in$

En análisis complejo cuando se integra no sobre intervalos rectos en la recta real sino arbitrarios trayectorias o contornos cerrados en el plano complejo, las singularidades cambian el comportamiento de las integrales porque la función puede tener diferentes ramas (es decir, se convierte en multivaluada, de forma muy parecida a $\log z = \log |z| + \arg z + 2 n \pi i, n\in\mathbb{N}$ tiene un número infinito de valores). En ese momento se hace necesario abordar sus preocupaciones, pero esto es un poco más profundo y más complicado que el caso de valores reales.

Answer 3

Añadido en respuesta a la edición.

ignorando la singularidad

No se puede ignorar la singularidad. Estás intentando sumar dos infinitos, $+\infty+(-\infty)$ esperando obtener un valor finito. Para $-1<c<0$ la integral en $[-1,c[$ es negativo y para $0<c<1$ la integral en $]c,1]$ es positivo. Pero en $[-1,0[$ o $]0,1]$ ninguno de los dos es finito.

La gráfica de la función integrando es

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La integral $$\int \frac{1}{x}dx=\log \left\vert x\right\vert +C$$ sólo si $x\neq 0$ . Mi explicación: si $x>0$ entonces $\frac{d}{dx}\log x=\frac{1}{x}$ . Si $x<0$ entonces $$\frac{d}{dx}% \log \left( -x\right) =\frac{1}{x}.$$ Por lo tanto, si $x\neq 0$ entonces $$\frac{d}{dx}% \log \left\vert x\right\vert =\frac{1}{x}.$$

Dividiendo su integral como

$$\int_{-1}^{1}\frac{1}{x}dx=\int_{-1}^{0}\frac{1}{x}dx+\int_{0}^{1}\frac{1}{x% }dx,$$

tenemos dos integrales impropias del 2º tipo con una singularidad en $x=0$ . Como ambos son divergentes también lo es $\int_{-1}^{1}\frac{1}{x}dx$ . Un cálculo directo muestra que

$$\int_{0}^{1}\frac{1}{x}dx=\lim_{a\rightarrow 0^{+}}\int_{a}^{1}\frac{1}{x}% dx=\lim_{a\rightarrow 0^{+}}\left( -\ln a\right) =\infty ,$$

y

$$\int_{-1}^{0}\frac{1}{x}dx=\lim_{b\rightarrow 0^{-}}\int_{-1}^{b}\frac{1}{x}% dx=\lim_{b\rightarrow 0^{-}}\left( \ln b-i\pi \right) =-\infty .$$

Answer 4

Sé que no estoy usando látex, pero mi respuesta da la explicación CORRECTA (y afortunadamente sencilla) del valor absoluto.

Tenemos $(\ln(x))'$ = $\frac{1}{x}$ ¿verdad? En este caso, $x$ debe ser positivo para un $\ln(x)$ .

También tenemos $(\ln(-x))'$ = $1/x$ por la regla de la cadena, pero $x$ debe ser negativo para un $\ln(-x)$ .

Al considerar la integral de $1/x$ como puede ver, si $x$ es positiva la respuesta es $\ln(x)$ pero si $x$ es negativo, la respuesta es $\ln(-x)$ . Por lo tanto, la respuesta es $\ln|x| + C.$

Answer 5

El |x| sólo está ahí para que sea más fácil de evaluar para los números negativos. Sin embargo, si evalúas la integral sobre el plano complejo, verás que |x| es incorrecta, y que ln(x) da la solución verdadera para cualquier suma de Riemann tomada sobre el plano complejo. De hecho, si quieres, puedes usar el plano complejo para encontrar el área entre 1 y -1 evitando la singularidad por completo. Si integras de 1 a i, y luego de i a -1, obtendrás un área de πi. Alternativamente, si vas de 1 a -i, luego de -i a -1, obtendrás -πi.