Que $M$ sea el espacio de todos $m\times n$ matrices. Y $C=\{X\in M|rank(X)\leq k\}$ donde $k\leq \min\{m,n\}$. ¿Como prueba de que C es un subconjunto cerrado de M?
Respuesta
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Podemos identificar a $M$$\mathbb{R}^{mn}$, por tener la matriz $X=\pmatrix{a_{11} & \cdots & a_{1n}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mn}}$ corresponden a la orden de tupla $(a_{11},a_{12},\ldots,a_{mn})$.
Deje $r\leq\min\{m,n\}$, y deje $M_r$ ser el espacio de todas las $r\times r$ matrices. El mapa que envía un $m\times n$ matriz $X\in M$ $r\times r$ matriz formada de $X$ mediante la eliminación de todos, pero una cierta selección de $r$ filas ($i_1,\ldots,i_r$'th filas, dicen) y de una cierta elección de $r$ columnas ($j_1,\ldots,j_r$'th columnas, digamos), $$X=\pmatrix{a_{11} & \cdots & a_{1n}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mn}}\mapsto \pmatrix{a_{i_1j_1} & \cdots & a_{j_1j_r}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{i_rj_1} & \cdots & a_{i_rj_r}}$$ se corresponde con el mapa de $\mathbb{R}^{mn}$ $\mathbb{R}^{r^2}$que envía $$(a_{11},a_{12},\ldots,a_{mn})\mapsto (a_{i_1j_1},a_{i_1j_2},\ldots,a_{i_rj_r}),$$ que es continua, para cualquier elección de la $i$'s y $j$'s.
Además, el determinante mapa de $M_r$ $\mathbb{R}$que envía a $Y\in M_r$ $\det(Y)$es continua, porque es un polinomio en las entradas de $Y$, es decir corresponde a un mapa de $\mathbb{R}^{r^2}$ $\mathbb{R}$que es un polinomio en a $r^2$ variables.
Supongamos $k<\min\{m,n\}$. A continuación, asigne $M$ $\mathbb{R}^d$donde $d={\binom{m}{k+1}\cdot\binom{n}{k+1}}$, mediante el envío de una matriz a la tupla ordenada de su $(k+1)\times(k+1)$ menores de edad. Por ejemplo, si $m=n=3$$k=1$, entonces le enviaremos $$\pmatrix{1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9}\mapsto\left( |\begin{smallmatrix} 1 & 2\\ 4 & 5\end{smallmatrix}|, |\begin{smallmatrix} 1 & 3\\ 4 & 6\end{smallmatrix}|, |\begin{smallmatrix} 2 & 3\\ 5 & 6\end{smallmatrix}|, |\begin{smallmatrix} 1 & 2\\ 7 & 8\end{smallmatrix}|, |\begin{smallmatrix} 1 & 3\\ 7 & 9\end{smallmatrix}|, |\begin{smallmatrix} 2 & 3\\ 8 & 9\end{smallmatrix}|, |\begin{smallmatrix} 4 & 5\\ 7 & 8\end{smallmatrix}|, |\begin{smallmatrix} 4 & 6\\ 7 & 9\end{smallmatrix}|, |\begin{smallmatrix} 5 & 6\\ 8 & 9\end{smallmatrix}| \right).$$
Porque todos los $d$ de la proyección de mapas de $M$ $M_r$son continuos, y debido a que el determinante mapa de $M_r$ $\mathbb{R}$es continua, este mapa es continua.
Una matriz es de rango $\leq k$, es decir,$< k+1$, si y sólo si todos sus $(k+1)\times(k+1)$ de los menores de edad son cero. Por lo tanto, $C$ es la preimagen de $0\in\mathbb{R}^d$ bajo un mapa continuo, y $\{0\}$ es un conjunto cerrado en $\mathbb{R}^d$ porque $\mathbb{R}^d$ es Hausdorff, por lo tanto, $C$ es un conjunto cerrado en $M$.
Si $k=\min\{m,n\}$,$C=M$, y es un conjunto cerrado.
