¿Existe un subespacio fundamental grupo $\Bbb R^2$ $\Bbb Z \oplus \Bbb Z$?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Mike Miller
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No. Puedo demostrar en esta respuesta que $H_2(X;\Bbb Z)$ surjects en $H_2(K(\pi_1 X, 1);\Bbb Z)$. (En realidad, los coeficientes pueden ser lo que quiera.) Si usted quiere hacer esto por bruto $X$ esto todavía es cierto, pero necesitas utilizar CW aproximación. Además, para $X$ compacto, se sigue inmediatamente de (Cech) Alexander dualidad que $H_2(X) =0$. Si además, usted asume que $X$ es localmente contráctiles, puede colocar la Cech entre paréntesis; en este caso, las técnicas utilizadas en la prueba se pueden encontrar en el primer año de un curso de topología algebraica (aunque se requieren más pesada maquinaria que el grupo fundamental solos).
Desafortunadamente, sin estos supuestos, este se vuelve más difícil. Al parecer es un teorema de Zaslow que la mayor homología de cualquier subconjunto del plano se desvanece de forma idéntica. Para $\pi_1 X = \Bbb Z^2$, $K(\Bbb Z^2,1) = T^2$, así, vemos que la segunda homología de cualquier espacio con $\Bbb Z^2$ grupo fundamental es trivial.
De hecho, ser un subconjunto del plano de los lugares severas restricciones en el grupo fundamental; ver aquí. En particular, cualquier finitely generado subgrupo es libre. Considero que esto es mucho más difícil que el primer párrafo, pero que probablemente en parte porque sólo yo sé cómo demostrar lo que en el primer párrafo.
