Estoy tratando de verificar la reclamación presentada en esta pregunta.
Supongamos que estamos interesados en los siguientes probabilidad en ambos casos (es decir, montones ordenados(SP) y desordenado montón(MH)):
La probabilidad de elegir a $k$ piedras de $N$ piedras con las que el fabricante de herramientas puede hacer $k$ diferentes herramientas.
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Para el (SP) caso:
La probabilidad es de uno solo. Porque tenemos montones distintos de cada piedra del tipo. Así, uno puede recoger una piedra de cada pila (Supongamos que tenemos $k$ tipos de piedra con la frecuencia de $n_k$ tal que $\sum_{k} n_k = N$):
$P_{SP}(X) = \dfrac{{{n_1}\choose{1}}{{n_2}\choose{1}}...{{n_k}\choose{1}}} {{{n_1}\choose{1}}{{n_2}\choose{1}}...{{n_k}\choose{1}}} = 1$
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Para el (MH) caso:
El espacio de selección ahora es todo lo de las piedras, ya que no hay etiquetado tipo a cualquier piedra. Por lo tanto:
$P_{MH}(X) = \dfrac{{{n_1}\choose{1}}{{n_2}\choose{1}}...{{n_k}\choose{1}}} {{N}\choose{k}}$
El reclamo es:
$\lim_{N\to\infty} \dfrac{P_{SP}(X)}{P_{MH}(X)} = k$
Ahora, uno puede utilizar a Stirling Aproximación conduce a:
$\lim_{N\to\infty} \dfrac{P_{SP}(X)}{P_{MH}(X)} = \lim_{N\to\infty} \dfrac{{N}\choose{k}}{{{n_1}\choose{1}}{{n_2}\choose{1}}...{{n_k}\choose{1}}} = \lim_{N\to\infty} \dfrac{\dfrac{N!}{k!(N-k)!}}{n_{1}*n_{2}*...*n_{k}}$
¿Cómo debo proceder ahora?!
Actualización:
Yo mismo he resuelto el problema:
Vamos a suponer que todas las frecuencias son las mismas (por el bien de la simplicidad):
$n_{1} = n_{2} = ... n_{k} = \psi$,
por lo tanto, $k\psi = N \Rightarrow \psi = \dfrac{N}{k}$
$\lim_{N\to\infty} \dfrac{{N}\choose{k}}{n_{1}*n_{2}*...*n_{k}} = \lim_{N\to\infty} \dfrac{{N}\choose{k}}{(\dfrac{N}{k})^{k}}$
Ahora a por la siguiente aproximación, tenemos:
- ${{N}\choose{k}} \approx \dfrac{N^k}{k!}$ si $N\gg k$
$\lim_{N\to\infty} \dfrac{{N}\choose{k}}{(\dfrac{N}{k})^{k}} = \lim_{N\to\infty} \dfrac{\dfrac{N^k}{k!}}{\dfrac{N^k}{k^k}} = \dfrac{k^k}{k!}$
Deje $\phi = \dfrac{k^k}{k!}$
Podemos utilizar la siguiente aproximación aquí:
- $\log(k!) \approx k\log k - k$,
Así,
$\log \phi = \log k^{k} - \log k! = k\log k - [k\log k -k] = k$
Finalmente,
$\phi = exp(k)$
Yo debería haber llegado a $k$, no $exp(k)$.
Lo que está mal con mi argumento?!
