¿$e$ es el número único en el universo tiene esta propiedad?

Question

¿He leído que $e$ es el número único en el universo que, si se utiliza como una base elevada a ninguna potencia tiene el valor más alto en comparación a cuando la base y el poder se intercambian, es decir, $$e^p > p^e,\forall p\neq e$ $ es una afirmación verdadera? ¿Existe alguna prueba de esta declaración o ha alguien ya demostró en este foro? Proporcione por favor el enlace.

Answer 1

sí, la función $f(x)=\frac{\log(x)}{x}$, $x>0$ tiene un único máximo (basta con ver el derivado) $x=e$ que tomando exponencial (estrictamente monótona) equivale a su declaración.

$$ e\log x \leq x \log e \Leftrightarrow x^e \leq e^x $$

con desigualdad estricta iff $x\neq e$.

Answer 2

Reclamo : Siempre , tenemos los números reales $a,b$$e\le a<b$, $b^a<a^b$

Prueba : para números reales $a,b> 1$ , la condición $$b^a<a^b$$ is equivalent to $$a\ln(b)<b\ln(a)$$ and therefore equivalent to $$\frac{a}{\ln(a)}<\frac{b}{\ln(b)}$$ But $f(x)=\frac{x}{\ln(x)}$ has derivate $f'(x)=\frac{\ln(x)-1}{(\ln(x))^2}$, which is positive for $x>e$ and $0$ for $x=e$. Hence, $f(x)$ is stricly increasing for $x\ge e$. Esto implica la reclamación.

Este útil generalización puede , en particular, se utiliza para decidir si $e^{\pi}$ o $\pi^e$ es mayor.

Como ya se señaló en la respuesta anterior, la función de $f(x)$ tiene un mínimo global para $b=e$, por lo que si establecemos $a=e$,$b^e<e^b$$b\ne e$$b>0$. Un número $a\ne e$ no tiene la propiedad deseada porque si elegimos $b=e$, obtenemos $a^b<b^a$ contradiciendo la necesaria desigualdad de $a^b>b^a$