La generalización de la suma de cubos consecutivos $\sum_{k=1}^n k^3 = \Big(\sum_{k=1}^n k\Big)^2$ a otros extraños poderes

Question

Tenemos,

$$\sum_{k=1}^n k^3 = \Big(\sum_{k=1}^n k\Big)^2$$

$$2\sum_{k=1}^n k^5 = -\Big(\sum_{k=1}^n k\Big)^2+3\Big(\sum_{k=1}^n k^2\Big)^2$$

$$2\sum_{k=1}^n k^7 = \Big(\sum_{k=1}^n k\Big)^2-3\Big(\sum_{k=1}^n k^2\Big)^2+4\Big(\sum_{k=1}^n k^3\Big)^2$$

y así sucesivamente (aparentemente).

Es cierto que la suma de impares consecutivos $m$ poderes, para $m>1$, puede ser expresada como la suma de los cuadrados de las sumas* en una manera similar a la anterior? ¿Cuál es la fórmula general?

*(Editado volver a Lord Soth y anon comentario.)

Answer 1

Esta es una respuesta parcial, sólo se establece la existencia.

Tenemos $$s_m(n) = \sum_{k=1}^n k^m = \frac{1}{m+1} \left(\operatorname{B}_{m+1}(n+1)-\operatorname{B}_{m+1}(1)\right)$$ donde $\operatorname{B}_m(x)$ denota el monic Bernoulli polinomio de grado $m$, que tiene las siguientes propiedades útiles: $$\begin{align} \int_x^{x+1}\operatorname{B}_m(t)\,\mathrm{d}t &= x^m \quad\text{(from which everything else follows)} \\\operatorname{B}_{m+1}'(x) &= (m+1)\operatorname{B}_m(x) \\\operatorname{B}_m\left(x+\frac{1}{2}\right) &\begin{cases} \text{is even in %#%#%} & \text{for even %#%#%} \\ \text{is odd in %#%#%} & \text{for odd %#%#%} \end{casos} \\\operatorname{B}_m(0) = \operatorname{B}_m(1) y= 0 \quad\text{para impares $x$} \end{align}$$

Por lo tanto, $$\begin{align} s_m(n) &\text{has degree %#%#% in %#%#%} \\s_m(0) &= 0 \\s_m'(0) &= \operatorname{B}_m(1) = 0\quad\text{for odd %#%#%} \\&\quad\text{(This makes %#%#% a double zero of %#%#% for odd %#%#%)} \\s_m\left(x-\frac{1}{2}\right) &\begin{cases} \text{is even in %#%#%} & \text{for odd %#%#%} \\ \text{is odd in %#%#%} & \text{for even %#%#%} \end{casos} \end{align}$$

Considere el espacio vectorial $m$ de polinomios univariados $x$ con el grado no superior a $m$, que están incluso en $m\geq3$ y tiene un doble cero en $m+1$. Por lo tanto $n$ tiene dimensión $m\geq3$ y es claramente atravesado por $n=0$$ Para $s_m(n)$, nos encontramos con que $m\geq3$ tiene todas las propiedades para la adhesión en $x$. Sustituyendo $m$, llegamos a la conclusión de que existe una representación $$s_{2m+1}(n) = \sum_{j=1}^m a_{m,j}\,s_j^2(n) \quad\text{para$x$$m\geq2$} $$ de $V_m$ como una combinación lineal de los cuadrados de las sumas.

Answer 2

Agregar a @Hecke la respuesta
El primer paso fue construir la matriz de $A$ de los coeficientes de las plazas de la Faulhaber-polinomios. Siguiente paso, para construir la matriz de $B$ de los coeficientes de la onu-cuadrado Faulhaber-polinomios, pero sólo de los extraños pedidos.

A continuación, la matriz de $C$ de los coeficientes de la composición, de tal manera que $C \cdot A = B$ se produce por la inversión de $A$ tal que $C = B \cdot A^{-1}$. Esto se puede hacer con cualquier truncamiento de tamaño. Importante: tenga en cuenta que las dos primeras columnas de a $A$ $B$ están completamente de cero, por lo que debemos reducir las matrices para el resto de las columnas.

La inversa de los coeficientes de la matriz de $C$ (que en sí mismo puede ser visto en el interior de los apoyos de Hecke la respuesta) también podría ser interesante; al menos es un poco más simple de la estructura: $$ C^{-1}= \Tiny \begin{bmatrix} 2 & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . \\ . & 1 & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . \\ . & 1/3 & 2/3 & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . \\ . & . & 1/2 & 1/2 & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . \\ . & . & -1/15 & 2/3 & 2/5 & . & . & . & . & . & . & . & . & . \\ . & . & . & -1/6 & 5/6 & 1/3 & . & . & . & . & . & . & . & . \\ . & . & . & 1/21 & -1/3 & 1 & 2/7 & . & . & . & . & . & . & . \\ . & . & . & . & 1/6 & -7/12 & 7/6 & 1/4 & . & . & . & . & . & . \\ . & . & . & . & -1/15 & 4/9 & -14/15 & 4/3 & 2/9 & . & . & . & . & . \\ . & . & . & . & . & -3/10 & 1 & -7/5 & 3/2 & 1/5 & . & . & . & . \\ . & . & . & . & . & 5/33 & -1 & 2 & -2 & 5/3 & 2/11 & . & . & . \\ . & . & . & . & . & . & 5/6 & -11/4 & 11/3 & -11/4 & 11/6 & 1/6 & . & . \\ . & . & . & . & . & . & -691/1365 & 10/3 & -33/5 & 44/7 & -11/3 & 2 & 2/13 & . \\ . & . & . & . & . & . & . & -691/210 & 65/6 & -143/10 & 143/14 & -143/30 & 13/6 & 1/7 \end{bmatrix}$$ ... y el numerador de $691$ de filas $13,14,15,\ldots$ seguramente algunos anillos de la campana sobre Bernoulli-números
Nota: esta matriz da a las composiciones de los cuadrados de las sumas de las potencias por la más extraña de las órdenes de los originales de sumas de potencias, por lo que ayuda a la inversa de su problema: $$ \begin{array}{rrrrr} S(0,x)^2 &=& 2 S(1,x) & - 1 S(0,x) &\\ \hline \\ S(1,x)^2 &=& 1 S(3,x) \\ S(2,x)^2 &=& 1/3 \; S(3,x) &+2/3 \; S(5,x) \\ S(3,x)^2 &=&& 1/2 \; S(5,x) &+1/2 \; S(7,x) \\ S(4,x)^2 &=&& -1/15 \; S(5,x)&+2/3 \; S(7,x)&+2/5 \; S(9,x) \\ \vdots \end{array} $$ La primera fila no encaja en el patrón. Los coeficientes son composiciones de binomios y de Bernoulli-números, que puede ser escrito de la siguiente según el análisis de la matriz $E$

[actualización] La siguiente matriz muestra los coeficientes después de la de Bernoulli-números y la columna de índice se quitan. $$ D = \Tiny \begin{bmatrix} 2 & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . \\ . & 2 & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . \\ . & 4 & 2 & . & . & . & . & . & . & . & . & . \\ . & . & 9 & 2 & . & . & . & . & . & . & . & . \\ . & . & 6 & 16 & 2 & . & . & . & . & . & . & . \\ . & . & . & 20 & 25 & 2 & . & . & . & . & . & . \\ . & . & . & 8 & 50 & 36 & 2 & . & . & . & . & . \\ . & . & . & . & 35 & 105 & 49 & 2 & . & . & . & . \\ . & . & . & . & 10 & 112 & 196 & 64 & 2 & . & . & . \\ . & . & . & . & . & 54 & 294 & 336 & 81 & 2 & . & . \\ . & . & . & . & . & 12 & 210 & 672 & 540 & 100 & 2 & . \\ . & . & . & . & . & . & 77 & 660 & 1386 & 825 & 121 & 2 \end{bmatrix} $$ Tenemos $$ C^{-1}_{r,c} = D_{r,c}\cdot {B_{2(r-c)} \over c } $$ where $B_k$ are the Bernoulli-numbers and the column- and rowindices $c,r$ begin at $1$.

Quizás el mejor de la pantalla es este: $$ E= \Tiny \begin{bmatrix} 1 & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . \\ . & 1 & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . \\ . & 3 & 1 & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . \\ . & . & 6 & 1 & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . \\ . & . & 5 & 10 & 1 & . & . & . & . & . & . & . & . & . \\ . & . & . & 15 & 15 & 1 & . & . & . & . & . & . & . & . \\ . & . & . & 7 & 35 & 21 & 1 & . & . & . & . & . & . & . \\ . & . & . & . & 28 & 70 & 28 & 1 & . & . & . & . & . & . \\ . & . & . & . & 9 & 84 & 126 & 36 & 1 & . & . & . & . & . \\ . & . & . & . & . & 45 & 210 & 210 & 45 & 1 & . & . & . & . \\ . & . & . & . & . & 11 & 165 & 462 & 330 & 55 & 1 & . & . & . \\ . & . & . & . & . & . & 66 & 495 & 924 & 495 & 66 & 1 & . & . \\ . & . & . & . & . & . & 13 & 286 & 1287 & 1716 & 715 & 78 & 1 & . \\ . & . & . & . & . & . & . & 91 & 1001 & 3003 & 3003 & 1001 & 91 & 1 \end{bmatrix}$$ donde $ C^{-1}_{r,c} = E_{r,c} \cdot 2 B_{2(r-c)} / r $ e parece $E_{r,c} = \binom{r}{2(r-c)} $ donde$ c \le r \lt 2c$, por lo que parece $$ C^{-1}_{r,c} = B_{2(r-c)} \cdot \binom{r}{2(r-c)}\cdot \frac 2{2c-r+1} \qquad \text{ where } c \le r \lt 2c \tag 1$$ [agregado]
Si yo uso esta descripción de la composición de $C^{-1}$ entonces puedo simbólicamente invertir este nuevo y conseguir (en la parte superior izquierda del rango de aquí) $$ C= \Tiny \begin{bmatrix} 1/2 & . & . & . & . & . \\ 0 & 1 & . & . & . & . \\ 0 & -3 \; B_2 & 3/2 & . & . & . \\ 0 & 18 \; B_2^2 & -9 \; B_2 & 2 & . & . \\ 0 & -180 \; B_2^3+15 \; B_4 \; B_2 & 90 \; B_2^2-15/2 \; B_4 & -20 \; B_2 & 5/2 & . \\ 0 & 2700 \; B_2^4-495 \; B_4 \; B_2^2 & -1350 \; B_2^3+495/2 \; B_4 \; B_2 & 300 \; B_2^2-30 \; B_4 & -75/2 \; B_2 & 3 \end{bmatrix} \tag 2$$ y donde la primera fila/columna debe ser eliminado ya que están fuera de la estructura. Por ejemplo, el uso de la tercera y la cuarta fila de esta matriz obtenemos $$ \begin{array} {rrlll} S(5,x) &=& -3 \; B_2 \; S(1,x)^2 &+ 3/2 \; S(2,x)^2 \\ S(7,x) &=& 18 \; B_2^2 \; S(1,x)^2 &- 9 \; B_2 \; S(2,x)^2 &+ 2 \; S(3,x)^2 \end{array} \etiqueta 3$$

Answer 3

No una respuesta, pero sólo algunos de los resultados que se encuentran.

Denotar $s_m=\sum_{k=1}^nk^m.$ Supongamos que $$s_{2m+1}=\sum_{i=1}^m a_is_i^2,a_i\in\mathbb Q.$$

Utilice el método de coeficientes indeterminados, podemos obtener una lista de $\{m,\{a_i\}\}$: $$\begin{array}{l} \{1,\{1\}\} \\ \left\{2,\left\{-\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right\}\right\} \\ \left\{3,\left\{\frac{1}{2},-\frac{3}{2},2\right\}\right\} \\ \left\{4,\left\{-\frac{11}{12},\frac{11}{4},-\frac{10}{3},\frac{5}{2}\right\}\right\} \\ \left\{5,\left\{\frac{61}{24},-\frac{61}{8},\frac{28}{3},-\frac{25}{4},3\right\}\right\} \\ \left\{6,\left\{-\frac{1447}{144},\frac{1447}{48},-\frac{332}{9},\frac{595}{24},-\frac{21}{2},\frac{7}{2}\right\}\right\} \\ \left\{7,\left\{\frac{5771}{108},-\frac{5771}{36},\frac{5296}{27},-\frac{2375}{18},56,-\frac{49}{3},4\right\}\right\} \\ \left\{8,\left\{-\frac{53017}{144},\frac{53017}{48},-\frac{60817}{45},\frac{21817}{24},-\frac{3861}{10},\frac{1127}{10},-24,\frac{9}{2}\right\}\right\} \\ \left\{9,\left\{\frac{2755645}{864},-\frac{2755645}{288},\frac{632213}{54},-\frac{1133965}{144},\frac{13379}{4},-\frac{11725}{12},208,-\frac{135}{4},5\right\}\right\}\end{array}$$

A través de algunos de observación, podemos encontrar que $a_i a_{i+1}<0,a_m=\dfrac{m+1}2,a_2=-3a_1,a_{m-1}=\dfrac{1}{24} m^2 (m+1).$

Answer 4

Demasiado largo para un comentario en @Gottfried la respuesta. (Nota: Esto fue escrito antes de la respuesta fue editado para incluir notas sobre la matriz $E$.)

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En la matriz de $D$, la diagonal principal se compone de $2$s, y el siguiente se compone de cuadrados: $$\begin{align} D_{r,r\phantom{-1}} &= 2 & r \geq 1\\ D_{r,r-1} &= (r-1)^2 = \binom {r-1}{1}\frac{r-1}{1} & r \geq 3 \end{align}$$

La tercera diagonal consiste consecutivos de 4 dimensiones piramidal números (OEIS #A002415); el siguiente, consecutivos de 6 dimensiones los números al cuadrado (OEIS #A040977); el siguiente, consecutivos 8-dimensiones de la plaza de números (OEIS #A053347).

Si yo he hecho mi índice de aritmética correctamente (revise), tenemos $$\begin{align} D_{r,r-2} &= \binom{r-1}{3}\frac{r-2}{2} & r \geq 5 \\ D_{r,r-3} &= \binom{r-1}{5}\frac{r-3}{3} & r \geq 7 \\ D_{r,r-4} &= \binom{r-1}{7}\frac{r-4}{4} & r \geq 9 \end{align}$$ donde la fila y columna de los índices comienzan en $1$. Las dos entradas de la final de la columna visible satisfacer $$D_{r,r-5} = \binom{r-1}{9}\frac{r-5}{5} \qquad r \geq 11$$

Así, por $r\neq c$, la no-cero entradas de $D$ parecen ser $$D_{r,c} = \binom{r-1}{2(r-c)-1}\frac{c}{r-c}$$

Answer 5

Esta no es una respuesta, pero no cabe en un comentario de la caja.

Otra forma de describir la relación entre la suma y la suma de los cuadrados de diversas sumas de dinero-de-como-poderes hace uso de la Euleriano-números, que convierte las expresiones para la suma-de-como-poderes en polinomios. La suma de poderes puede ser expresado como $$\pequeño \begin{array} {rclllll} s_0(n) = & 1 \cdot \binom{n}{1} \\ s_1(n) = & & 1 \cdot \binom{n+1}{2} \\ s_2(n) = & & 1 \cdot \binom{n+1}{3}& +1 \cdot \binom{n+2}{3} \\ s_3(n) = & & 1 \cdot \binom{n+1}{4}& +4 \cdot \binom{n+2}{4} & +1 \cdot \binom{n+3}{4} \\ s_4(n) = & & 1 \cdot \binom{n+1}{5}& +11 \cdot \binom{n+2}{5} & +11 \cdot \binom{n+3}{5} & +1 \cdot \binom{n+4}{5} \\ s_5(n) = & & 1 \cdot \binom{n+1}{6}& +26 \cdot \binom{n+2}{6}& +66 \cdot \binom{n+3}{6} & +26 \cdot \binom{n+4}{6} & +1 \cdot \binom{n+5}{6} \\ \vdots & &\vdots \end{array} $$ Esto se ve un poco más regular que las expresiones de Bernoulli-polinomios y, posiblemente, las relaciones entre la suma de expresiones-de extrañas órdenes de $s_{2k+1}(n)$ puede ser escrito utilizando estos polinomios muy bien y con más facilidad que con la de Bernoulli-polinomios, no sé.

La primera de la igualdad ha de ser expresada como $$ \begin{array} {rcl} \sum_{k=1}^n k^3 &=&\left(\sum_{k=1}^n k \right)^2 \\ s_3(n) &=& s_1(n)^2 \\ 1 \cdot \binom{n+1}{4} +4 \cdot \binom{n+2}{4} +1 \cdot \binom{n+3}{4} &=& \left( 1 \cdot \binom{n+1}{2}\right)^2 \\ \end{array}$$ y que luego debe ser ampliado para reproducir la igualdad (pero no tengo el tiempo en el momento para hacer esto en la longitud requerida...)