Hay muchas maneras de dividir la capacidad matemática de uno en etapas para medir su progreso y preparación para algo más profundo. Las etapas no están estrictamente divididas, por lo que es posible avanzar y retroceder entre diferentes etapas, y puedes estar en diferentes etapas con diferentes áreas de estudio. Esta es una de las formas que se aplican en este contexto.
En la primera etapa, se aprende a calcular. No hay teoría ni generalidades. Hay números, ecuaciones, matrices, etc., y en este punto, el único trabajo del estudiante es conseguir moverlos bien. Esta es la parte de tu educación matemática, desde que eras un niño pequeño aprendiendo a contar, hasta que empezaste a hacer matemáticas en serio.
En la segunda etapa, se aprende qué son las pruebas y cómo construirlas. Aprendes a demostrar teoremas estándar, y en cada clase que tomes se demostrarán todos los teoremas, excepto posiblemente algunos muy difíciles que están fuera de la clase. Se espera que aprendas cómo van estas demostraciones y cómo se relacionan entre sí, y puede que incluso se te pida que las reproduzcas. La mayoría de la gente hace esto durante casi toda la licenciatura.
En la tercera etapa, en lugar de aprender pruebas, ahora se aprenden técnicas de demostración. Al tener una gran cantidad de ideas a tu disposición, ya no necesitas ver cada detalle de una demostración para saber cómo funciona (a menos que sea realmente técnica). Cuando ves un teorema, no te limitas a recitar los pasos de la prueba que has memorizado. Piensa en qué tipo de ingredientes forman parte de la demostración y los une. Esto no quiere decir que seas capaz de reproducir todos los teoremas que has aprendido sin problemas -por supuesto, la gente se olvida de cosas todo el tiempo-, pero significa que, sabiendo lo que sabes sobre el tema, puedes redescubrir y volver a montar la demostración sobre la marcha, incluso si eso significa que te tropieces de vez en cuando.
Yo diría que, con toda probabilidad, a partir de su pregunta, usted se encuentra en la segunda etapa, y pregunta sobre lo que significa pasar a la tercera etapa. ¿Hay que conocer todos los argumentos de cada teorema para ser un buen matemático? No, por supuesto que no. Aprender todas las pruebas de cada teorema te llevaría años, y nunca llegarías a avanzar. En cambio, la única manera de pasar de la segunda a la tercera etapa es aprender todas las pruebas que puedas y analizarlas a fondo. Encuentra sus pasos cruciales, las cosas fundamentales que las mantienen unidas, y reflexiona sobre ellas. Luego, pasar a la tercera etapa consiste en buscar formas de utilizar esas observaciones fundamentales para otros problemas.
Espero que esto ayude.
