¿Existe alguna buena manera de aproximar la siguiente integral?
$$\int_0^{0.5}\frac{x^2}{\sqrt{2\pi}\sigma}\cdot \exp\left(-\frac{(x^2-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)\mathrm dx$$
$\mu$ está entre $0$ y $0.25$ El problema está en $\sigma$ que siempre es positivo, pero puede ser arbitrariamente pequeño.
Estaba tratando de expandirlo usando series de Taylor, pero los términos se ven más o menos así $\pm a_n\cdot\frac{x^{2n+3}}{\sigma^{2n}}$ y que puede ser arbitrariamente grande, por lo que el error es significativo.
Respuestas
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Jon Clegg
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Una forma estándar de obtener una buena aproximación para las integrales que "parecen" gaussianas es evaluar la serie de Taylor de los logaritmos de sus integradas hasta el segundo orden, expandiéndose alrededor del punto de máximo valor así (continuando con la sustitución de @Ross Millikan):
$$\eqalign{ &\log\left(\sqrt{y}\cdot \exp\left(-\frac{(y-\mu )^2}{2\sigma ^2}\right)\right) \cr = &\frac{-\mu ^2-\sigma ^2+\mu \sqrt{\mu ^2+2 \sigma ^2}+2 \sigma ^2 \log\left[\frac{1}{2} \left(\mu +\sqrt{\mu ^2+2 \sigma ^2}\right)\right]}{4 \sigma ^2} \cr + &\left(-\frac{1}{2 \sigma ^2}-\frac{1}{\left(\mu +\sqrt{\mu ^2+2 \sigma ^2}\right)^2}\right) \left(y-\frac{1}{2} \left(\mu +\sqrt{\mu ^2+2 \sigma ^2}\right)\right)^2 \cr + &O\left[y-\frac{1}{2} \left(\mu +\sqrt{\mu ^2+2 \sigma ^2}\right)\right]^3 \cr \equiv &\log(C) - (y - \nu)^2/(2\tau^2)\text{,} }$$
digamos, con los parámetros $C$ , $\nu$ y $\tau$ en función de $\mu$ y $\sigma$ como puedes ver. La integral resultante ahora es una gaussiana, que puede calcularse (o aproximarse o buscarse) de las formas habituales. La aproximación es magnífica para las $\sigma$ o grandes $\mu$ y sigue bien por lo demás.
El gráfico muestra el integrando original en rojo (punteado), esta aproximación en azul, y la aproximación más sencilla que ofrece la sustitución de $\sqrt{y} \to \sqrt{\mu}$ en oro para $\sigma = \mu = 1/20$ .
(Añadido)
Mathematica nos dice que la integral, cuando se lleva a $\infty$ puede expresarse como una combinación lineal de funciones de Bessel modificadas $I_\nu$ de pedidos $\nu = -1/4, 1/4, 3/4, 5/4$ con argumento común $\mu^2/(4 \sigma^2)$ . A partir de la expansión de Taylor podemos ver que cuando ambos $\mu$ y $\sigma$ son pequeños con respecto a $1/2$ -específicamente, $(1/4-\mu)/\sigma \gg 3$ el error cometido al incluir toda la cola derecha será muy pequeño. (Con un poco de álgebra y algunas estimaciones sencillas podemos incluso obtener buenos límites explícitos del error en función de $\mu$ y $\sigma$ .) Hay muchas formas de calcular o aproximar las funciones de Bessel, entre ellas aproximaciones polinómicas . Observando las gráficas del integrando, parece que los casos en los que la aproximación de la función de Bessel funciona extremadamente bien complementan más o menos los casos en los que la "aproximación del punto de silla" precedente funciona extremadamente bien.
Si escribes y=x^2 y sacas las constantes tienes $$\frac{1}{2\sqrt{2\pi}\sigma}\int_0^{0.25}\sqrt{y}\cdot \exp(-\frac{(y-\mu )^2}{2\sigma ^2})dy$$ Si $\sigma$ es muy pequeña, la contribución vendrá toda de una pequeña zona en $y$ alrededor de $\mu$ . Así que puede establecer $\sqrt{y}=\sqrt{\mu}$ y utilizar sus tablas de funciones de error para una aproximación. Una búsqueda rápida no ha encontrado momentos de $\sqrt{y}$ contra la distribución normal, pero tal vez estén ahí fuera.
cameronka
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No es una respuesta, pero puede ser útil. Utilizando la sustitución de variables que menciona Ross en su respuesta, podemos tratar un caso más sencillo $\mu=0$ más fácilmente.
Para la siguiente integral, Wolfram Alpha nos dice que (espero no haber cometido un error de transcripción aquí):
$$\int_0^\infty \sqrt{y}e^{-y^2/(2\sigma^2)}dy = \frac{\sigma^{3/2}\Gamma(3/4)}{2^{1/4}},$$
Pero su problema va desde $0$ a $0.25$ por lo que son necesarias algunas aproximaciones.
Link-text: http://www.wolframalpha.com/input/?i=Integrate\[Sqrt\[x\]+Exp\[-x^2%2F%282+s^2%29\]%2C{x%2C0%2Cinf}]
