¿Tiene el operador hermítica $H=-\frac{d^2}{dx^2}$ valores propios imaginarios?

Question

En la mecánica cuántica, Hermitian operadores juegan un papel muy importante debido a que poseen real de los autovalores.

Considerando $-\frac{d^2}{dx^2}$, es una Hermitian operador (en Realidad es el más simple de Hamilton) y su eigenfunction puede ser expresado en $e^{ikx}$.

Sin embargo, lo que si $k$ es imaginario? si $k$ es imaginario, $-\frac{d^2}{dx^2}e^{ikx}=k^2e^{ikx}$ aún se mantiene, con su autovalor $k^2$ imaginario!

¿Alguien puede decirme lo que está mal aquí?

EDIT: Como uno de los comentarios de los estados, el problema puede estar en la restricción de $L^2$. Desafortunadamente, la Mayoría de los libros de texto de física ignorar la restricción de $L^2$. Puede alguien darme una rigurosa prueba de que la llanura de la onda de $e^{ikx}$($k$ real) es de algún modo adecuado en la mayoría de las situaciones?

Answer 1

Su "imaginario" valores propios" no funcionan, debido a las funciones propias no son funciones propias. Ellos no se encuentran en $L^2$, como usted parece ser consciente de.

Por lo tanto, vamos a tratar con el Laplaciano en sí: $-\Delta=-\frac{d^2}{dx^2}$. Lo que quiero hacer es que quiero calcular la transformada de Fourier de este operador, debido a que la transformada de Fourier diagonalizes $-\Delta$, como vamos a ver. A partir de la diagonal de la forma, podemos leer en el espectro y por lo tanto a la conclusión de que el espectro se compone de $\mathbb{R}^+$. Por supuesto, no tengo que responder a la pregunta "¿por $e^{ikx}$ son suficientes para que el real $k$", simplemente porque es una pregunta sin sentido en el espacio de Hilbert de configuración.

Así que, vamos a hacerlo. Tomar una función $\psi\in L^2(\mathbb{R})$ y calcular:

$$ \mathcal{F}(-\Delta \psi)(k)=\int e^{ikx}\left(-\frac{d^2}{dx^2}\right)\psi(x)\,dx = \int k^2e^{ikx}\psi(x)\,dx = k^2 \mathcal{F}(\psi)(k) $$

donde integramos por partes dos veces (usando ese $\psi$ necesariamente desaparece en el infinito) y, a continuación, diferenciadas $e^{ikx}$. Esta fórmula significa que $\mathcal{F}$ diagonalizes el Laplaciano, porque hemos visto que la transformada de Fourier de la Laplaciano $\mathcal{F}(-\Delta)\mathcal{F}^*$ es un operador de multiplicación. Ahora la idea es que a partir de un operador de multiplicación, podemos leer en el espectro: Es el esencial rango del operador de multiplicación. Sólo a partir de la definición, podemos ver que este va a ser $[0,\infty)$ en nuestro caso, por tanto,$\sigma(-\Delta)=[0,\infty)$.

En ningún momento podemos incluso hablar de $e^{ikx}$, entonces, ¿cómo resolver el $e^{ikx}$ imaginarias $k$ negocio? Usted no tiene que - ninguna de estas funciones es, en $L^2$, pero: si ahora se pone en $\psi(x)=e^{ikx}$ real $k$ (debido a $k$ es real en la transformada de Fourier!), entonces me parece que es un eigenfunction de $-\Delta$. En otras palabras: Si usted se imagina un espacio con su base de ser las funciones de $e^{ikx}$, entonces la transformada de Fourier de la Laplaciano es sólo el infinito de la matriz con valores propios $k^2$ en la diagonal. Sin embargo, este no es el riguroso imagen!

Edit: Una explicación muy buena con las matemáticas más se puede encontrar aquí: http://math.stackexchange.com/questions/766479/what-is-spectrum-for-laplacian-in-mathbbrn Tenga en cuenta que esto no es fácil, las matemáticas, pero con el fin de comprender los puntos más finos de este negocio, no puede evitarlo.

Answer 2

En primer lugar, si $k =: i\kappa$ es imaginario, el autovalor ("energía") es $-\kappa^2$, es decir, real, pero negativo: $$-\frac{d^2}{dx^2} e^{ikx} = -\frac{d^2}{dx^2} e^{-\kappa x} = -\kappa^2 e^{-\kappa x}.$$

Físicamente, que es una onda evanescente en una sola dirección, sino que crece sin límite en el otro, así que si tu espacio es de todos los de $x\in\mathbb R$, no es válido función de onda muy tangible físico razones: no es normalizable. La razón subyacente es que su energía es menor que el mínimo del potencial que vive en. Cualquier introductorio QM conferencia o un libro debe cubrir este, y también cuentan con este tipo de función de onda (probablemente en el contexto finito de posibles obstáculos).

Para más formal, matemático lado de las cosas de este documento tiene que ser recomendado: http://arxiv.org/abs/quant-ph/9907069.

Como para las ondas planas, que en realidad no son válidos los estados (físicamente, una partícula nunca tendrá perfectamente definido por el momento), pero son los más convenientes para trabajar con y frecuencia adecuadas (prototipo de situación: una de las partículas del haz incidente sobre un objetivo que está siendo descrito por una onda plana). Cuando un solo plano de la onda no es lo suficientemente bueno (para ser más realista, una partícula que podría ser descrito como un paquete de ondas), usted todavía puede hacer una descomposición en términos de ondas planas , es decir, la transformada de Fourier. Su real (de buen comportamiento, matemáticamente válido) estado puede ser descrito como una suma de ondas planas.