Aquí hay un pequeño y agradable Mathematica rutina para evaluar la fracción continua de Tito con precisión prec :
prec = 10^4;
y = N[4, prec];
c = y; d = 0; k = 1;
u = 1; v = y;
While[True,
c = 1 + u/c; d = 1/(1 + u d);
h = c*d; y *= h;
v += 96 k^2 + 8;
c = v + u/c; d = 1/(v + u d);
h = c*d; y *= h;
If[Abs[h - 1] <= 10^-prec, Break[]];
u += 3 k (k + 1) + 1;
k++];
6/y
donde utilicé el método Lentz-Thompson-Barnett para la evaluación.
Para prec = 10^4 La cosa se evalúa en 120 segundos (a través de AbsoluteTiming[] ), dando un resultado que concuerda con $\zeta(3)$ a 10.000 dígitos.
Se puede considerar la parte par de la CF de Tito, que converge al doble de velocidad que la original:
$$\cfrac{6}{5-\cfrac{u_1}{v_1-\cfrac{u_2}{v_2-\cfrac{u_3}{v_3-\cdots}}}}$$
donde
$$\begin{align*} u_k&=k^6\\ v_k&=(17k^2+17k+5)(2k+1) \end{align*}$$
Aquí está Mathematica código correspondiente a este CF:
prec = 10^4;
y = N[5, prec];
c = y; d = 0; k = 1;
While[True,
u = k^6;
v = (2 k + 1) ((17 k + 17) k + 5);
c = v - u/c; d = 1/(v - u d);
h = c*d; y *= h;
If[Abs[h - 1] <= 10^-prec, Break[]];
k++];
6/y
Para prec = 10^4 la cosa se evalúa en 70 segundos (vía AbsoluteTiming[] ). Es posible que haya otras formas de acelerar la convergencia del FC, pero aún no las he investigado.
Añadido, un poco más tarde:
Resulta que la parte par que derivé es precisamente El CF de Apéry para $\zeta(3)$ (¡gracias Américo!). A la inversa, el CF de Tito es un extensión del CF de Apéry. He aquí cómo derivar la FC de Apéry a partir de la FC de Tito (mientras se demuestra la convergencia en el camino).
Partimos de una transformación de equivalencia de Tito's CF. Una transformación de equivalencia general de una CF
$$b_0+\cfrac{a_1}{b_1+\cfrac{a_2}{b_2+\cfrac{a_3}{b_3+\cdots}}}$$
con alguna secuencia $\mu_k, k>0$ se ve así:
$$b_0+\cfrac{\mu_1 a_1}{\mu_1 b_1+\cfrac{\mu_1 \mu_2 a_2}{\mu_2 b_2+\cfrac{\mu_2 \mu_3 a_3}{\mu_3 b_3+\cdots}}}$$
Ahora, dado un CF
$$b_0+\cfrac{a_1}{b_1+\cfrac{a_2}{b_2+\cdots}}$$
se puede transformar en una CF de la forma
$$b_0+\cfrac{w_1}{1+\cfrac{w_2}{1+\cdots}}$$
donde $w_1=\dfrac{a_1}{b_1}$ y $w_k=\dfrac{a_k}{b_k b_{k-1}}$ para $k > 1$ donde utilizamos $\mu_k=\dfrac1{b_k}$ . Aplicando esta transformación a la CF de Tito se obtiene la CF
$$\cfrac{\frac32}{1+\cfrac{w_2}{1+\cfrac{w_3}{1+\cdots}}}$$
donde $w_{2k}=\dfrac{k^3}{4(2k-1)^3}$ y $w_{2k+1}=\dfrac{k^3}{4(2k+1)^3}$ . (Se puede demostrar fácilmente que esta CF transformada y la CF de Tito tienen convergentes idénticos).
En este punto, nos encontramos con que desde el $w_k \leq\dfrac14$ tenemos la convergencia de la CF por Teorema de Worpitzky .
Ahora, pasamos a extraer el incluso parte de esta CF transformada. Recordemos que si una CF tiene la secuencia de convergentes
$$u_0=b_0,u_1=b_0+\cfrac{a_1}{b_1},u_2=b_0+\cfrac{a_1}{b_1+\cfrac{a_2}{b_2}},\dots$$
entonces la parte par es la CF cuyos convergentes son $u_0,u_2,u_4,\dots$ (Análogamente, existe la Parte impar con la secuencia de convergentes $u_1,u_3,u_5,\dots$ )
Ahora, dada una CF de la forma
$$b_0+\cfrac{w_1}{1+\cfrac{w_2}{1+\cdots}}$$
su parte par es el CF
$$b_0+\cfrac{w_1}{1+w_2-\cfrac{w_2 w_3}{1+w_3+w_4-\cfrac{w_4 w_5}{1+w_5+w_6-\cdots}}}$$
Así, la parte par de la CF previamente transformada viene dada por
$$\cfrac{\frac32}{\frac54-\cfrac{\beta_1}{\delta_1-\cfrac{\beta_2}{\delta_2-\cdots}}}$$
donde
$$\begin{align*} \beta_k&=\frac{k^3}{4(2k-1)^3}\frac{k^3}{4(2k+1)^3}=\frac{k^6}{16(2k-1)^3(2k+1)^3}\\ \delta_k&=1+\frac{k^3}{4(2k+1)^3}+\frac{(k+1)^3}{4(2k+1)^3}=\frac{17k^2+17k+5}{4(2k+1)^2} \end{align*}$$
Ya casi hemos llegado. Sólo tenemos que realizar otra transformación de equivalencia, que dividiré en dos pasos para facilitar la comprensión. Primero, el fácil con $\mu_k=4$ que da como resultado el CF
$$\cfrac{6}{5-\cfrac{16\beta_1}{4\delta_1-\cfrac{16\beta_2}{4\delta_2-\cdots}}}$$
El último paso es cancelar los denominadores enteros Impares del $\beta_k$ y $\delta_k$ para ello, tomamos $\mu_k=(2k+1)^3$ Esto da como resultado el CF
$$\cfrac{6}{5-\cfrac{u_1}{v_1-\cfrac{u_2}{v_2-\cfrac{u_3}{v_3-\cdots}}}}$$
donde
$$\begin{align*} u_k&=k^6\\ v_k&=(17k^2+17k+5)(2k+1) \end{align*}$$
y este es el CF de Apéry.
Para completar, presento una fórmula para la parte impar de la CF de Tito, después de algún post-procesamiento con algunas transformaciones de equivalencia:
$$\zeta(3)=\frac32-\cfrac{81}{\lambda_1-\cfrac{\eta_1}{\lambda_2-\cfrac{\eta_2}{\lambda_3-\ddots}}}$$
donde
$$\begin{align*} \eta_k&=4\times(4k^4+8k^3+k^2-3k)^3=4\times10^3,\,4\times126^3,\dots\\ \lambda_k&=8\times(68k^6-45k^4+12k^2-1)=8\times34,\,8\times3679,\dots \end{align*}$$
La fórmula es algo más complicada, y converge al mismo ritmo que la parte par.
