Prueba del teorema del valor extremo (Spivak)

Question

Ellos: Si $f$ es continua en $[a,b]$ , entonces hay un $y$ en $[a,b]$ tal que $f(y) \geq f(x)$ para cada $x \in [a,b]$

Prueba . Ya sabemos que $f$ está acotado en $[a,b]$ lo que significa que el conjunto $$\{ f(x):x\text{ in }[a,b]\}$$ está acotado. Evidentemente, este conjunto no es $\varnothing$ por lo que tiene un límite superior mínimo $\alpha$ . Desde $\alpha\geqslant f(x)$ para $x$ en $[a,b]$ basta con demostrar que $\alpha=f(y)$ para algunos $y$ en $[a,b]$ .
Supongamos, en cambio, que $\alpha\neq f(y)$ para todos $y$ en $[a,b]$ . Entonces la función $g$ definido por $$g(x)=\dfrac1{\alpha-f(x)},\quad x\text{ in }[a,b]$$ es continua en $[a,b]$ ya que el denominador del lado derecho nunca es $0$ . Por otro lado, $\alpha$ es el límite superior mínimo de $\{f(x):x\text{ in }[a,b]\}$ Esto significa que $$\text{for every $\epsilon\gt0$ there is $ x $ in $ [a,b] $ with $\alpha -f(x) \lt\epsilon$}.$$ Esto, a su vez, significa que $$\text{for every $\epsilon\gt0$ there is $ x $ in $ [a,b] $ with $ g(x) \gt1 / \epsilon$}.$$ Pero este significa que $g$ no está acotado en $[a,b]$ contradiciendo el teorema anterior. $\Rule{0.3em}{0.87em}{0.1em}$

De acuerdo, en primer lugar, ¿cómo se puede llegar a $g(x)$ ? Parece que sale de la nada. Por otro lado, ¿qué hace

Esto significa que: por cada $\epsilon > 0$ hay x en $[a,b]$ con $\alpha - f(x) < \epsilon$

¿Incluso significa? Esta afirmación es cierta, estoy de acuerdo, pero no tengo ningún sentimiento por ella. Tampoco entiendo la última línea con $g$ . Podría haber elegido $\epsilon = \alpha - f(x)$ y que se haga no?

Answer 1

¿Dónde $g$ ¿de dónde viene?

El autor necesitaba una función que fuera continua en $[a, b]$ si $\alpha$ no era un valor de $f(x), x\in[a, b]$ . Básicamente, eligió esta función porque es fácil ver que se convierte en discontinua sólo si el mínimo límite superior del conjunto también está en el conjunto.

Necesitaba que se convirtiera en discontinuo para proporcionar la contradicción encontrada en el último paso.

¿Qué significa esa afirmación citada?

$$\text{for every }\varepsilon > 0\text{, there is } x \in [a,b]\text{ with }\alpha−f(x)<\varepsilon$$

En lenguaje no matemático, esto significa básicamente que, si se elige un $\varepsilon$ como usted quiere, entonces hay un $x$ valor en el rango tal que $\alpha - f(x)$ es menor que el valor que elegiste.

Incluso más allá en la charla no matemática: Elige cualquier valor pequeño, y la función se acerca más al límite superior mínimo que la magnitud de ese valor pequeño.

(Sé que esto es algo tarde, pero lo redacté antes de irme a una reunión... No quería que se desperdiciara. ;) )

Answer 2

El tipo de truco involucrado con el $g$ En realidad, esto es muy común en las matemáticas. Es difícil de describir, ya que todavía estás trabajando con Spivak, pero cuando llegues a cosas como el análisis real y complejo verás que este tipo de argumento es completamente estándar (que es como Spivak se las arregló para llegar a él).

Es una cuestión de experiencia, eso es todo. Aprende a usar este truco, te será útil muchas veces.

En la última línea, sustituya $1/\varepsilon$ por $M$ . Entonces lo que Spivak está diciendo es que por cada $M>0$ , no importa lo grande que sea existe $x \in [a,b]$ tal que $g(x)>M$ es decir $g$ no tiene límites. El "no importa el tamaño" se consigue eligiendo $\varepsilon$ muy pequeño.

Answer 3

Esta prueba es un poco rara. En un nivel un poco más abstracto, pero más claro, lo que sucede aquí con este teorema es que los mapas continuos (en general) llevan a los conjuntos compactos a conjuntos compactos; es decir $f([a,b])$ es cerrado y acotado para el caso de $\mathbb{R}^n$ . Así que el máximo de $f$ se consigue.

Esta demostración hace las cosas de una manera un poco más rudimentaria, utilizando simplemente que existe una secuencia de Cauchy que converge al máximo en la imagen de $f$ y utilizando el conocimiento apriori de que los mapas continuos sobre conjuntos cerrados y acotados son acotados.

Edición: Parece que lo anterior no responde a la pregunta: Para explicar las cosas aún más explícitamente, estamos asumiendo que la función $g$ es continua, por lo que está acotada, para luego llegar a una contradicción.