¿Forma cerrada en cualquier subvariedad cerrada?

Question

Que $M$ ser un múltiple y $\omega$ una forma diferencial cerrada, así por ejemplo, $d \omega =0.$ si yo ahora considero un submanifold $N$ $M$. ¿Esto significa que el % todavía está cerrada $\omega$$N$?

¿Esta declaración puede ser generalizable a la pregunta si tiene $(d\omega)|N = d( \omega|_N)$?

Answer 1

"Restricción de $\omega$ $N$" es lo mismo que la retirada forma $i^*\omega$, $i:N \to M$ Dónde está la inclusión. Entonces todo lo que necesitas saber es para cualquier mapa liso $f$, $df^*\omega = f^*d\omega$. Usted puede comprobar esto en coordenadas, por ejemplo.

Answer 2

Mike Miller dijo que $\omega|_N$ es lo mismo que $i^*\omega.$ ¿por Qué es así?

(Supongo que $\omega$ $k$- forma) Ver primero que $\omega|_N,$ por la definición de la restricción, es sólo una función y para cualquier $x\in N$ $$\omega|_N(x)\in\bigwedge^kT_x^*\color{red}{M}$$ Así que no es lo que esperaba obtener. Por lo tanto, por definición, $$\omega|_N:=i^*\omega.$$ En mi opinión, la notación es $\omega|_N$ está muy bien porque se capta la idea, pero no se adecua perfectamente para establecer teórico reino.

De nuevo, como Mike Miller, dijo que, a prueba de que $(d_M\omega)|_N=d_N(\omega|_N)$ usted necesidad justa de saber que para cualquier función suave $f:N\rightarrow M$ y cualquier $\omega\in\Omega^*(M).$ $$d_Nf^*\omega=f^*d_M\omega$$ Por lo tanto, en tu caso es

$$(d_M\omega)|_N=i^*d_M\omega=d_Ni^*\omega=d_N(\omega|_N).$$