Deje $G$ ser un grupo finito y $V$ ser finito-dimensional representación real de $G$. Escribir $S^V$ para el punto de compactification de $V$, con inducidos $G$-acción, considerada como la punta de su espacio, y considerar la homotopy espacial en órbita $(S^V)_{hG}$. Por ejemplo, si $V$ es regular la representación de $G=\mathbb{Z}/2$, $(S^V)_{hG}$ funciona a la suspensión de $B\mathbb{Z}/2$. ¿Hay algún tipo de descripción general de este espacio, presumiblemente construido fuera de la clasificación de los espacios de los subgrupos de $G$? ¿Qué hago si sólo se preocupan por el estable homotopy tipo? Estoy más interesado en la permutación de las representaciones de los grupos simétricos.
Respuesta
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Patrick McElhaney
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El más destacado de hecho acerca de la (SV)hG es que es la Thom espacio de un vector paquete de más de BG. Así que esto le da un gran control sobre el tipo de cosas que se ven por homología: por ejemplo, una Thom isomorfismo si el paquete está orientado con respecto a su homología en la teoría; si pones un CW-estructura en BG, entonces (S,V)hG tiene un CW-estructura con las células en las mismas dimensiones (desplazado dim V). Moralmente, es un "trenzado suspensión" de BG, y que el hecho de que codifica la mayoría de lo que sé acerca de él.
Para G=Z/2 y L=signo rep, usted tiene (SnL)hG = RP∞/RPn-1, y algo similar se tiene para Z/p, y para el grupo simétrico Σp (y tal vez para cada grupo con el periódico tate cohomology?)
Si usted tiene una descomposición de la forma BG = hocolim BH, entonces usted puede tirar de su paquete de más de BG a todos los términos en la hocolim de conseguir (SV)hG = hocolim (SV)hH.
