Funciones y metafunciones

Question

Yo no recibo ninguna respuesta a esta pregunta la primera vez, así que he tratado de reescribir partes de la misma. Si hay algo que salta a la mal con las preguntas que yo estoy pidiendo, por favor deje un comentario!

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La lógica de primer orden es compatible con la noción de una "función". Además, si nos axiomatize la teoría de conjuntos utilizando la lógica de primer orden, entonces podemos obtener una "interna" de la noción de una función; en particular, una función es un tipo de conjunto.

Supongamos que queremos ser muy riguroso. Supongo que sería importante distinguir entre estos dos conceptos.

Cuestión A La Que Quiero. ¿Cuál es la más útil de la terminología aquí? Debemos referir a

1. Funciones (una especie de conjunto) frente a metafunctions (un concepto lógico), o
2. Funciones internas (una especie de juego) versus funciones (un concepto lógico)?
3. Algo más?

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Para el resto de esta pregunta, permite consulte "funciones internas" versus "metafunctions," sólo para dar énfasis.

Un par de ejemplos.

• El powerset función de $x \mapsto \mathcal{P}(x)$ no puede ser visto como una función interna, porque el conjunto que codifica esta función sería "demasiado grandes". Por lo tanto powerset es un metafunction.

• Supongo que cada función interna $f$ puede ser visto como un metafunction. Sin embargo, yo podría estar equivocado; lo si $f$ es indefinible?

Esto engendra las siguientes preguntas.

Pregunta II. Es cada función interna asociada con una metafunction? Por otra parte, dado un metafunction, ¿ alguna vez nos hablan de su "internalización"? Es decir, un conjunto que, esencialmente, que codifica metafunction? Y dada una función interna, ¿ alguna vez nos hablan de su "externalización"?

Pregunta III. Hacer algunas/todas las funciones internas no ser un metafunctions?

Y mi pregunta final es este.

Pregunta IV. Supongamos ahora elegir un "metatheory" (por ejemplo, PA) para el estudio de la teoría de conjuntos. ¿Este resultado en tres tipos de función? Y si es así, ¿cómo llamamos a estos tipos? (Metametafunctions?)

Answer 1

Para (I), la práctica habitual es la de llamar "funciones", pero a distinguir entre si la existencia de la función es demostrado en el objeto de la teoría o de la metatheory. La distinción es a veces no de manera explícita, el autor podría pensar que la gente que sabe lo suficiente para pedir será capaz de responder por sí mismos, mientras que mencionar explícitamente se convierta en una distracción.

Para (II), recordar que en el metatheory, donde se define lo que significa para una estructura para satisfacer el objeto de la teoría, un símbolo de función en un primer orden lenguaje es interpretado en cada una de primer orden de la estructura por una función que es un metafunction, en este punto de vista. Por ejemplo, si tomamos la teoría de conjuntos con una función extra símbolo $P$ que es axiomatized para representar el powerset operación, a continuación, en cualquier ZFC($P$) de la estructura, $P$ será interpretado como el metafunction que es el powerset operación en la que la estructura, mientras que internamente $P$ no es un "objeto de la función" en el sentido de que no está codificado por cualquier interno. Esto apunta a otra distinción: en ZFC($P$) de las estructuras, no es un símbolo de función para powerset en el lenguaje, pero esto es sólo una "función de la clase" en la terminología habitual de la teoría de conjuntos, no una verdadera "función", es decir, no una función interna.

Para (III): cada función interna en un modelo de ZFC corresponde a un metafunction con el mismo dominio que la función interna que toma los mismos valores que la función interna.

Para (IV), no está claro a qué te refieres cuando dices que una función es una "lógica" del concepto. Para que la idea de metafunctions para hacer sens,e debemos trabajar en un metatheory que tiene una sintaxis que incluye funciones. La costumbre metatheory que utilizamos para el estudio de la lógica de primer orden es una especie de teoría de conjuntos, en los que se define la noción de una primera estructura de orden y de primer orden a la interpretación. SI hacemos un estudio de ZFC con PA como un metatheory, la idea de "metafunction" tiene menos sentido, porque PA no tiene sintaxis de manejar directamente las funciones (aparte de las funciones cuyo dominio y el rango son conjuntos finitos de números).