Para no negativo continuo $f$, si $f'(x)-f(x)\leq 0, \forall x\geq 0$ y $f(0)=0$, encuentra el valor de $f(1)$.

Question

Que $f(x)$ ser una no negativo función continua tal que $f'(x)-f(x)\leq 0, \forall x\geq 0$ y $f(0)=0,$ encontrar el valor de $f(1)$.

$f'(x)-f(x)\leq 0$$\Rightarrow f'(x)\leq f(x)$$\Rightarrow \frac{f'(x)}{f(x)}\leq 1$$\Rightarrow \int\frac{f'(x)}{f(x)}dx\leq \int1 dx$$\Rightarrow \log f(x) \leq x$. Entonces no podrían solucionar aún más. ¿Alguien me puede ayudar encontrar $f(1)$?

Answer 1

\begin{align*} f(1) &= e\left[ e^{-1} f(1) \right] \\ &= e\left[ e^0 f(0) + \int_0^1 \frac{d}{dx} (e^{-x} f(x)) \; dx \right] \\ &= e\left[ 0 + \int_0^1 e^{-x} \left[ f'(x) - f(x) \right] \right] \\ &\le e\left[ \int_0^1 e^{-x} \left[ 0 \right] \right] \\ &= 0. \end{align*}