Me he encontrado mucho con este tipo de problema:
Demuestre que $a^6-1$ es divisible por $168$ siempre que $(a,42)=1$ .
En primer lugar, por el teorema de Euler, tenemos que $$a^{\phi(42)}\equiv a^{12}\equiv1\pmod{42}.$$ Observe que $$a^6a^6\equiv1\pmod{42}\text{ and }168=4\cdot42.$$ De ello se deduce que $$a^{12}\equiv1\pmod{168},$$ $$a^{12}-a^6\equiv1-a^6\pmod{168},$$ $$a^6(a^6-1)\equiv1-a^6\pmod{168},$$ $$a^6-1\equiv a^6(1-a^6)\pmod{168},$$ $$a^6-1\equiv a^6-a^{12}\pmod{168}.$$ Me quedo atascado aquí: ¿Cómo puedo demostrar que la RHS es congruente a cero módulo $168$ ?
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No he aprendido nada parecido, pero parecería como si $a^n\equiv1\pmod{m}$ siempre que $n|\phi(m)$ .
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Tu última línea es la misma que tu segunda línea, que es la misma que tu primera línea. En otras palabras, aún no has cambiado nada.
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Sólo estoy tratando de hacer muy explícito que $a^6-1\equiv0\pmod{168}$ .
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Eso es Teorema de Carmichael : $a^{\lambda(168)}\equiv1\pmod{168}$ y $\lambda(168)=6$ .