serie convergente

Question

Esta pregunta solo me recordó a un acertijo que me planteé en mi primer año de Universidad. Obtener nunca una respuesta satisfactoria...

Que $a_n$ ser una secuencia nula. ¿Sigue que $\sum \frac{a_n}{n}$ converge?

¿Alguna idea?

Answer 1

Si te refieres a una secuencia que converge a 0, entonces no por secuencia nula. Prueba $a_n=1/\log n.$ por comparación integral, la serie diverge:

%#% $ de #% donde he utilizado el cambio de variables $$\sum_2^\infty\dfrac1{n\log n}\geq\int_2^\infty\dfrac{dx}{x\log x}=\int_{\log 2}^\infty\dfrac{du}u=\infty,$.