Expresión de forma cerrada de $\int_{-\infty}^{+\infty}dx \exp[-\alpha(x^2-a^2)^2]$

Question

Es la siguiente integral $$I(a,\alpha)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}dx \exp[-\alpha(x^2-a^2)^2]$$ analytically solvable i.e., have a closed form expression? Here, $ \alpha, a$ son constantes reales positivas. No estoy siendo capaz de reducir a integrales incorrectos estándar.

Si no existe una expresión de forma cerrada para $I(a,\alpha)$, ¿qué podemos decir acerca de los valores límites de la integral como $\alpha\rightarrow 0^+$ y $\alpha\rightarrow +\infty$?

Answer 1

Si definimos $$ I(a,b) = \int_{-\infty}^{+\infty}\exp\left[-b(x^2-a^2)^2\right]\,dx $$ para $a,b>0$, mediante el establecimiento $c=ba^4$ $x=az$ obtenemos: $$ I(a,b) = a \int_{-\infty}^{+\infty}\exp\left[-c(z^2-1)^2\right]\,dz = a\int_{0}^{+\infty}\exp\left[-c(z-1)^2\right]\,\frac{dz}{\sqrt{z}}\stackrel{\text{def}}{=} a\,J(c)$$ y: $$ J(c) = \int_{-1}^{+\infty}\frac{\exp(-c z^2)}{\sqrt{z+1}}\,dz =\color{blue}{\int_{-1}^{0}\frac{\exp(-cz^2)}{\sqrt{z+1}}\,dz}+\color{red}{\int_{0}^{+\infty}\frac{\exp(-cz^2)}{\sqrt{z+1}}\,dz}$$ donde el azul integral se puede aproximar mediante la ampliación de el integrando la función como una serie de Taylor y el rojo de la integral puede ser estudiado por el cambio a transformadas de Laplace y obtener valores de funciones de Bessel. En cualquier caso, el comportamiento depende de la magnitud de $\color{green}{ba^4}$.

En términos de modificación funciones de Bessel de primera especie, $$ I(a,b) = \frac{\pi a}{2 \exp(ba^4/2)}\left[I_{-1/4}(ba^4/2)+I_{1/4}(ba^4/2)\right].$$ De ello se sigue que si $ba^4$ es de gran hemos $$ I(a,b) \approx \frac{\pi a }{\sqrt{\pi b a^4}}=\sqrt{\frac{\pi}{b a^2}}$$ mientras que si $ba^4$ es cercano a cero, tenemos $$ I(a,b) \approx \frac{\pi}{2^{3/4}\Gamma(3/4)b^{1/4}}.$$