Factoriales y la función Mod

Question

Yo sólo estaba jugando con el factorial y el modulo de función. Sólo observé esta interesante propiedad. Yo estaba usando una calculadora

$$13!\equiv 13\times 12\pmod{169}\\ 17!\equiv 17\times 16\pmod{289}$$

Es fácilmente comprobable que esto funciona para $2,3,5,7,11$ también.

Conjetura para cualquier % primer $p$, $$p!\equiv (p)\times (p-1)\pmod{p^2}$ $

¿Cómo uno va sobre probándolo? ¿y por cierto este bien conocido o algo?

Answer 1

Por el Teorema de Wilson tenemos $(p-1)!\equiv -1\equiv p-1\pmod{p}$. Su resultado conjetural se obtiene multiplicando a través de $p$.