Teoría de la integración

Question

Se agradece cualquier ayuda con este problema.

Teniendo en cuenta el $f$ es a.e. medibles y finitos en $[0,1]$. Luego probar las siguientes afirmaciones

$$ \int_E f = 0 \text{ for all measurable $E \subset [0,1]$ with $\mu(E) = # 1/2 %#% $ $ }\Rightarrow f = 0 \text{ a.e. on } [0,1]$ $

Answer 1

Para $(1)$, podemos definir los conjuntos de $ P:= \{x:f(x)\ge 0\}$$ N:=\{x:f(x)\le 0\}$. A continuación, cualquiera de $\mu(P)\ge \frac{1}{2}$ o $\mu(N)\ge \frac{1}{2}$. Supongamos $\mu(P)\ge \frac{1}{2}$, definir $SP:= \{x:f(x)> 0\},$$\ SP\subset P$. Si $ \mu(SP)<\frac{1}{2}$, se puede elegir un conjunto de $E$ tal que $$SP \subset E,\ f(x)\ge 0\ on \ E,\ and\ \mu(E)=\frac{1}{2}$$ According to the hypothesis, $\int_Ef=0$ which implies $\mu(SP)=0$($f$ is non-negative on $E\ \ \Rightarrow \ f=0\ a.e.\ en\ E$). I think you are able to show the case when $\mu(SP)>\frac{1}{2}$. Similarly, if we define $ SN:=\{x: f(x)<0\} $, we can show $\mu(SN)=0$.

Para $(2)$, forst definir $A_n:=\{x:f(x)>\frac{1}{n}\} $, entonces sabemos $A_n$ está alargando y $\lim_{n\to \infty}\mu(A_n)=1$ desde $f>0\ a.e.$. Revisión suficientemente grande $n_0$, de modo que $\mu(A_{n_0})>1-\epsilon_0$, entonces para cualquier $E$$\mu(E)\ge \frac{1}{2}$, tenemos $$ \int_Ef\,\mathrm{d}\mu=\int_{E\cap A_{n_0}^c} f\,\mathrm{d}\mu+\int_{E\cap A_{n_0}} f\,\mathrm{d}\mu\ge \int_{E\cap A_{n_0}} f\,\mathrm{d}\mu\ge \frac{1}{n_o}\cdot \mu(E\cap A_{n_0})$$ Tenga en cuenta que $\mu(E\cap A_{n_0})\ge \mu (E)+\mu (A_{n_0})-1> \frac{1}{2}+(1-\epsilon_0)-1=\frac{1}{2}-\epsilon_0$, por lo tanto $\int_E f\,\mathrm{d}\mu>\frac{1}{n_0}\cdot (\frac{1}{2}-\epsilon_0)>0$.