Una pregunta el Hamming métrico y distancia

Question

Supongamos $\sf{X}=\{0,1\}$, e $\sf{X}^n$ es el conjunto de todas las secuencias binarias de longitud $n$. Así que la primera pregunta es que ¿qué significa el cierre convexo de un subconjunto $\sf{A}$$\{0,1\}^n$, que se denota por a $\sf{\bar{A}}$?

Como de costumbre, se define la distancia de Hamming de dos subconjuntos $\sf{A}$ $\sf{B}$ $\sf{X}^n$ puede ser definida como $d_H(\sf{A},\sf{B}) = \min_{\bf{x}\in \sf{A},\hat{\bf{x}}\in\sf{B}}$ $d_H(\bf{x},\bf{\hat{x}})$, donde $d_H(\bf{x},\bf{\hat{x}})$ es el número de diferencias entre las secuencias binarias $\bf{x}$$\bf{\hat{x}}$.

Ahora definir $\Gamma\sf{A} = \{\bf{x}: \bf{x} \in \sf{X}^n$, $d_H(\{\bf{x}\},\sf{A})\leq1\}$, y, a continuación, definir el Hamming límite de $\partial\sf{A}$ $\sf{A}\in X^n$ $\partial\sf{A} = \sf{A} \cap$ $\Gamma\sf{\bar{A}}$.

Así que la segunda pregunta es que ¿por qué utilizamos $\Gamma\sf{\bar{A}}$ en lugar de $\Gamma\sf{A}$ en la definición anterior?

Muchas gracias de antemano.

Answer 1

¿Está seguro que el $\overline{A}$ significa el cierre convexo de la segunda parte?

Qué haría un montón de sentido sería si $\overline{A}$ es el complemento de $A$ (que es una anotación bastante estándar en muchos libros de teoría de conjuntos): luego

$$\partial A= \{ x \in A | \exists y \notin A \, \mbox{such that} \, d_H(x,y)=1 \} \,.$$

Y esto representaría el límite en algún sentido.

Answer 2

No sé la respuesta a la primera pregunta, pero para la segunda pregunta, $A$ es un subconjunto de $\Gamma A$, así que simplemente $A\cap\Gamma A$ $A$.

Pero estoy un poco confundido, como lo es el cierre convexo de $A$, yo esperaría que incluyen $A$, y entonces el límite de $A$ todavía sería $A$. ¿Cuál es su fuente para el término, "cierre convexo" (en el contexto de secuencias binarias)? ¿Realmente no da una definición, o ejemplo ilustrativo?