Extensiones de campo separables *sin* usar incrustaciones o automorfismos

Question

Si $K\subseteq L$ es una extensión de campo y $x\in L$ es algebraico, decimos que $x$ es separable sobre $K$ si su polinomio mínimo $f$ en $K$ es separable (es decir, $f$  es relativamente primo con su derivada). Decimos que $L$ es una extensión algebraica separable si cada elemento de $L$ es algebraica separable.

Estas definiciones, por supuesto, son bastante estándar. Ahora lo que me gustaría encontrar es una prueba de hechos tan estándar como "si $x$ es separable algebraicamente sobre  $K$ entonces $K(x)$ es separable" y "si $L$ es separable algebraicamente sobre $K$ y $M$ es tal sobre $L$ entonces $M$ es tal sobre  $K$ ", o una definición del grado separable de una extensión, todos sin usar automorfismos de campo o el truco de contar incrustaciones en un cierre algebraico.

(Puede haber varias razones para querer esto: con fines pedagógicos, por el deseo de posponer una discusión de la teoría de Galois en un momento posterior, o porque las incrustaciones/automorfismos son objetos computacional o lógicamente más complejos que las extensiones de campo, o simplemente porque parece que el punto de vista del primer párrafo anterior debería ser más natural, o para comparar diferentes puntos de vista).

Ahora bien, todos los libros de texto que he podido encontrar sobre extensiones de campo utilizan en algún momento una comparación entre el número de incrustaciones de $L$ en el cierre algebraico de $K$ y el grado $[L:K]$ . Pero seguramente esto puede evitarse (podemos, en cambio, trabajar explícitamente con raíces de polinomios y quizás con funciones simétricas elementales).

Entonces, ¿alguien conoce un lugar donde se introduzcan las extensiones de campo separables sin contar con incrustaciones u objetos similares, manteniéndose lo más cerca posible de la definición que di arriba?

Editar : Quizás la definición más bonita de un algebraico $x$ siendo separable sobre $K$ de la característica $p$ es que $K(x) = K(x^p)$ .

Answer 1

Después de pensarlo un poco, he aquí cómo podría funcionar:

• Definir un elemento $x$ de un campo de extensión de $k$ sea separable algebraicamente sobre $k$ si es algebraico y su polinomio mínimo $f$ en $k$ es relativamente primo con $f'$ lo que equivale a decir $f' \neq 0$ . Dado que cualquier polinomio $f$ en la característica $p>0$ puede escribirse de forma única como $f(t) = f_0(t^{p^e})$ para algunos $e$ con $f_0 \neq 0$ en el contexto en el que $x$ tiene $f$ como polinomio mínimo, $f_0$ es irreducible y $x$ es irreducible si $e=0$ .

• Proposición 1: sobre un campo $k$ de la característica $p>0$ , si $f(t) = f_0(t^{p^e})$ con $e>0$ y $f_0$ monic, entonces $f$ es reducible si los coeficientes de $f_0$ (equivalentemente, los de  $f$ ) son $p$ -enfermedades, y en este caso $f$ es, de hecho, un $p$ -en la potencia. La parte "si" es fácil, y la parte "sólo si" se puede demostrar reduciendo a $e=1$ considerando la factorización de $f_0^p$ dentro de $k^p[t]$ y utilizando el siguiente lema: si $h \in k[t]$ satisface $h^i \in k^p[t]$ para algunos $1\leq i<p$ entonces, de hecho $h \in k^p[t]$ (esto se puede ver utilizando una relación de Bézout $u i = 1 + v p$ con $u,v\in\mathbb{N}$ ).

• Proposición 2: si $x$ es algebraico sobre $k$ de la característica $p>0$ entonces se cumple exactamente una de las siguientes afirmaciones: o bien (a)  $x$ es separable, el polinomio mínimo de $x^p$ en $k$ tiene coeficientes en $k^p$ y $\deg(x) = \deg(x^p)$ y $k(x) = k(x^p)$ o (b)  $x$ no es separable, el polinomio mínimo de $x^p$ en $k$ no tiene todos sus coeficientes en $k^p$ y $\deg(x) = p\cdot\deg(x)$ . (Esto es fácil utilizando la proposición 1.)

• Proposición 3: si $k \subseteq K$ es un finito extensión de campos de característica $p>0$ y $K^p$ abarca $K$ como $k$ -espacio vectorial, entonces $K$ es separable sobre $k$ (lo que significa que cada elemento de $K$ es separable sobre  $k$ ). Esto es básicamente decir que las extensiones $K^p$ y $k$ de $k^p$ (en el interior  $K$ ) son linealmente disjuntos, pero realmente no necesitamos toda la maquinaria de la disjunción lineal para demostrarlo. Prueba. Sea $x_1,\ldots,x_d$ sea una base de $K$ como $k$ -espacio vectorial (donde $d = [K:k]$ ) y que $y \in K$ tener un título $d'$ : escribir $y^j = \sum_{i=0}^{d-1} c_{i,j} x_i$ para $0\leq j\leq d'-1$ sobre la base elegida: ya que $1,y,\ldots,y^{d'-1}$ son $k$ -independientes linealmente, la matriz $c_{i,j}$ tiene rango $d'$ pero elevando a la $p$ -a potencia, tenemos $y^{pj} = \sum_{i=0}^{d-1} c_{i,j}^p x_i^p$ . Ahora la hipótesis de que $K^p$ abarca $K$ como $k$ -implica que $x_1^p,\ldots,x_d^p$ lo hacen, por lo que son una base de $K$ como $k$ -espacio vectorial. Y la matriz del $c_{i,j}^p$ tiene el mismo rango que el del $c_{i,j}$ ya que Frobenius es un isomorfismo de $k$ a $k^p$ y el rango de una matriz no depende del campo en el que se calcula. Por lo tanto, a partir de $y^{pj} = \sum_{i=0}^{d-1} c_{i,j}^p x_i^p$ deducimos que $1,y^p,\ldots,y^{p(d'-1)}$ son linealmente independientes sobre  $k$ Es decir, $y^p$ tiene grado $d' = \deg(y)$ y por la proposición 2 que $y$ es separable. Fin de la prueba.

• Proposición 4: si $x_1,\ldots,x_n$ son tales que $x_i$ es separable algebraicamente sobre $k(x_1,\ldots,x_{i-1})$ entonces $k(x_1,\ldots,x_n)$ es separable (algebraicamente) sobre  $k$ . Prueba: en la característica $0$ no hay nada que probar, y en la característica $p>0$ tenemos $k(x_1) = k(x_1^p)$ porque $x_1$ es separable sobre $k$ entonces $k(x_1)(x_2) = k(x_1)(x_2^p) = k(x_1^p)(x_2^p)$ porque $x_2$ es separable sobre $k(x_1)$ y así sucesivamente, por lo que $k(x_1,\ldots,x_n) = k(x_1^p,\ldots,x_n^p)$ por lo que es fácil ver que los monomios en $x_1^p,\ldots,x_n^p$ span $k(x_1,\ldots,x_n)$ como $k$ -espacio vectorial, por lo que se aplica la proposición 3.

• Las siguientes afirmaciones son entonces casi triviales: si $(x_i)_{i\in I}$ son todas separables algebraicamente sobre $k$ entonces la extensión $k(x_i)_{i\in I}$ que generan es separable (algebraicamente). (Prueba: basta con demostrarlo para una subfamilia finita, caso que está contenido en la proposición 4). Y si $k \subseteq K \subseteq L$ es una torre de campos con $K$ separable algebraicamente sobre $k$ y $L$ separable algebraicamente sobre $K$ entonces $L$ es separable (algebraicamente) sobre  $k$ . (Prueba: tomar $y \in L$ y $x_1,\ldots,x_n \in K$ los coeficientes de su polinomio mínimo sobre  $k$ entonces la proposición 4 se aplica a $k(x_1,\ldots,x_n,y)$ .)

• Entonces tiene sentido definir el cierre separable relativo (algebraico) de $k$ en algún campo de extensión $K$ como la extensión generada por todos los elementos de $K$ que son separables algebraicamente sobre  $k$ y que es, de hecho, el conjunto de todos los elementos de este tipo por lo anterior. Podemos decir que $K$ es una extensión puramente inseparable de $k$ cuando $k$ es igual a su cierre separable en  $K$ y esto es equivalente al polinomio mínimo sobre $k$ de cada elemento de $K$ a ser de la forma $t^{p^e} - c$ para algunos $c \in k$ .

No he trabajado las propiedades del grado separable con tanto detalle, pero podemos definir $[K:k]_{\mathrm{sep}}$ como el grado del cierre separable relativo (algebraico) de $k$ dentro de $K$ Lo cual tiene sentido debido a lo anterior. El punto crucial para demostrar que el grado separable es multiplicativo es mostrar que si $k \subseteq K$ es puramente inseparable y $K \subseteq K'$ es finitamente separable y $k'$ el cierre separable de $k$ en  $K'$ entonces $[k':k] = [K':K]$ , lo que significa esencialmente que $K$ y $k'$ son extensiones linealmente disjuntas de $k$ dentro de  $K'$ : de nuevo, la maquinaria de la disyunción lineal puede evitarse sin duda.

En resumen, creo que es mejor pensar en términos de disyunción lineal ("criterio de MacLane"), si no explícitamente, al menos implícitamente.

Todavía estoy interesado en saber si algún libro de texto utiliza este enfoque.