Hay una cantidad infinita de $n\in\mathbb N$ tal que $\pi(n)=\sum_{p\leq\sqrt n}p$?

Question

Hay una cantidad infinita de $n\in\mathbb N$ tal que $$\pi(n)=\sum_{p\leq\sqrt n}p,\tag{1}$$ donde $\pi(n)$ es el Primer counting_function?

Por ejemplo, $n=1,4,11,12,29,30,59,60,179,180,389,390,391,392,\dots$

Que yo sepa, $\pi(x)\sim \dfrac{x}{\ln x},\sum_{p\leq x}p\sim \dfrac{x^2}{2\ln x}$, por lo tanto $\pi(x)\sim \sum_{p\leq \sqrt x}p$.

Parece que

• 1) es muy a menudo que $\pi(n)>\sum_{p\leq\sqrt n}p$,
• 2) existe una cantidad infinita de números primos $q$ tal que $q>\pi(q^2)-\sum_{p<q}p.$

Si podemos probar que 1) y 2), a continuación, obtenemos (1), pero no puedo ser uno de ellos.

Gracias de antemano!

Edit: el Uso de la fórmula dada por Balarka Sen, tengo $$\pi(x)\sim \sum_{p\leq\sqrt x}p = \frac{x}{\ln x}(1+\frac{1+o(1)}{\ln x}),$ $ , pero no es suficiente para resolver nuestro problema.

Edit2: el Uso de la fórmula dada en Dusart del papel y este papel (o en este post), me sale $$\pi(x)=\frac{x}{\ln x}(1+\frac{1}{\ln x}+\frac{2}{(\ln x)^2}+O(\frac{1}{(\ln x)^3}))\tag 2$$

$$\sum_{p\leq\sqrt x}p =\frac{x}{\ln x}(1+\frac{1}{\ln x}+o(\frac{1}{(\ln x)^2})),\tag 3$$ so 1) is true but 2) is not, and there are only finite many $n$ satisfy $(1)$.

Answer 1

Creo que son finitos :

$$\sum_{p\leq\sqrt{x}}p=\int_{2^{+}}^{\sqrt{x}}td\left(\pi(t)\right)= \sqrt{x}\pi(\sqrt{x}) -\int_{2}^{\sqrt‌​{x}}\pi (t)dt$$

supongamos que tenemos la igualdad para infinidad de $x$:

$$\pi(x)= \sqrt{x}\pi(\sqrt{x}) -\int_{2}^{\sqrt‌​{x}}\pi (t)dt$$

$$\sqrt{x}\pi(\sqrt{x}) - \pi(x)= \int_{2}^{\sqrt‌​{x}}\pi (t)dt$$

para $x > 55^{2}$ : $$ \sqrt{x}\frac{\sqrt{x}}{log(\sqrt{x})-4}- \frac{x}{log(x)+2} >\sqrt{x}\pi(\sqrt{x}) - \pi(x)$$

$$ \int_{2}^{\sqrt‌​{x}}\pi (t)dt > \int_{55}^{\sqrt‌​{x}} \frac{t}{log(t)+2}dt +C = e^{-4}\operatorname{Ei}(2(log(\sqrt{x})+2))+C $$

y :

$$ e^{-4}\operatorname{Ei}(2(log(\sqrt{x})+2))+C >> \sqrt{x}\frac{\sqrt{x}}{log(\sqrt{x})-4}- \frac{x}{log(x)+2} $$ así que tenemos una contradicción ..

¿Qué te parece ? ¿me olvido de algo ?

(nota : he utilizado el hecho de que para $x > 55$ :

$$\frac {x}{\ln x + 2} < \pi(x) < \frac {x}{\ln x - 4} $$)

Según mi cálculo de la lista debe detenerse en 4000 o 5000 ..