¿Puedes comprobar mi prueba de medios de Cesaro?

Question

Quería probar lo siguiente:

si $x_n \to x$ entonces $y_n \to x$ donde $$ y_n = {x_1 + \dots + x_n \over n}$$

Por favor, ¿pueden decirme si mi prueba es correcta? Mi prueba es la siguiente:

Dejemos que $\varepsilon > 0$ . Fijar $N$ tal que $n > N$ implica $|x_n - x| < {\varepsilon \over 2}$ .

Entonces $\left |{1 \over n} \sum_{k=N+1}^{N + n} x_k - x \right | < {\varepsilon \over 2}$ . Ahora dejemos que $M$ sea tal que ${|x_1 + \dots + x_N | \over M} < {\varepsilon \over 2}$ y $M > N$ . Entonces $$ \left | \sum_{k=1}^M {x_k \over M} - x  \right | \le \left | \sum_{k=1}^N {x_k \over M} \right | + \left | \sum_{k=N+1}^M {x_k \over |M-N|} - x  \right | < \varepsilon $$ Aquí se acaba la prueba. Pero uno puede observar:

Es posible que $y_n$ converge incluso si $x_n$ no lo hace: Si $x_{2n} = 0$ y $x_{2n + 1} = 1$ entonces $x_n$ no converge sino que $y_n \to {1 \over 2}$ .

Answer 1

Creo que la prueba es correcta.

Para tu pregunta, creo que hay muchas formas de resumir una serie divergente como $-1+1-1-1\cdots$ , que por alguna sumatoria llega a $\frac{1}{2}$ . La fuente que debe consultar como referencia es el Análisis de Fourier de Stein en su serie de libros de análisis. Él discutió la propiedad de convergencia de los medios de Caesaro en detalle. No tengo el libro conmigo (lo leí hace cuatro años) y no recuerdo los detalles. Así que eso es todo lo que puedo ofrecer.