¿Cuál es el orden de $(\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z})/ \langle (2,2) \rangle$ y es cíclico?

Question

Evidentemente, tiene de $(\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z})/ \langle (2,2) \rangle$ $4$ de la orden, pero creo que es infinito.

El cuatro cojunto figuran como $(0,0) + \langle (2,2) \rangle$, $(0,1) + \langle (2,2) \rangle$, $(1,0)+ \langle (2,2) \rangle$ y $(1,1) + \langle (2,2) \rangle$. Sin embargo, $(2,0)$ no aparece en ninguno de estos cojunto. Tal vez la respuesta que me dicen está mal.

Answer 1

Tienes razon, $(\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z})/ \langle (2,2) \rangle$ es infinito. Puede incrustar $\mathbb{Z}$ via $k\mapsto (k,0)$ (y de otras maneras) en él. El cociente no es cíclico, ya que contiene elementos de orden finito, $(1,1)$ por ejemplo.

Probablemente se pretendía ser $(\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z})/ (\langle 2\rangle\oplus \langle 2 \rangle)$ que de hecho es un grupo de orden $4$ (Klein $4$-grupo).