La manera estándar para introducir BPS monopolos es a través de la Georgi Glashow modelo en $\mathbb{R}^4$, el cual es definido por la densidad Lagrangiana $$ \mathcal{L}=-\frac{1}{2}Tr(F^{\mu\nu}F_{\mu\nu})+Tr(D^{\mu}\Phi D_{\mu}\Phi)-\frac{1}{2}(Tr((\Phi)^2)-\alpha^2)^2$$(I won't bother defining all the terms, anyone interested enough to read this will be familiar with them). The E.O.M. are $$D_{\mu}F^{\mu\nu}=[\Phi, D^{\nu}\Phi] $$ $$D^{\mu}D_{\mu}\Phi=-\Phi Tr(\Phi^2-\alpha^2) $$Taking the $\nu=0$ component of the first EOM, we get $$ D_iD_iA_0-D_i\dot{A_i}=[\Phi, [A_0, \Phi]]+[\Phi, \dot{\Phi}]$$This would be something like the equivalent of the Gauss constraint in Maxwell gauge theory. In the temporal gauge $A_0=0$ this becomes $$ D_i\dot{A_i}+[\Phi, \dot{\Phi}]=0 \ \ \ (1)$$Ahora bien, si imaginamos que la perturbación de un mínimo de energía monopolo de configuración en un lugar cercano a uno, los componentes del vector tangente al espacio de soluciones se acaba el tiempo de los derivados de los campos de la perturbación. Un ejemplo de este tipo de perturbación sería un corporales cambio de la monopolo de un punto a un infinitesimalmente separados punto.
Comenzando con una solución de $(A_i, \Phi)$ de la Bogomolny ecuaciones, el autor de la referencia en la pregunta se considera que un perturbado solución de $(A_i+\delta_{\alpha}A_i, \Phi+\delta_{\alpha}\Phi)$ donde $\alpha$ parametrizes la perturbación. Desde $\delta$ es pequeña, la perturbación $(\delta_{\alpha}A_i, \delta_{\alpha}\Phi)$ satisface la linealizado Bogomolny ecuación que sería algo como $$\epsilon_{ijk}(D_j\delta_{\alpha}A_k-D_k\delta_{\alpha}A_i ) = D_i\delta_{\alpha}\Phi + [\delta_{\alpha}A_i, \Phi]$$ Now lots of solutions to this equation will arise from perturbations which arise from applying infinitesimal small gauge transformations to the starting point $(A_i, \Phi)$. However physically meaningful solutions must satisfy (1), i.e. $$ D_i(\delta_{\alpha}A_i)+[\Phi, \delta_{\alpha}\Phi]=0 \ \ \ (2) $$(Here it is understood that the covariant derivative is evaluated using the connection at the point at which the tangent vector is attached, i.e $(A_i, \Phi)$). (2) es el fondo de calibre condición.
Ahora, para efectos de la determinación de la tangente vectores en el espacio de moduli (campos modulo de calibre más pequeño transformaciones), queremos una forma de filtrar los infinitesimal de la perturbación de una solución de $(A_i, \Phi)$ que es dado por un infinitesimal medidor de transformación. No deseados de la perturbación de este tipo sería de la forma $$(D_i\Lambda, [\Lambda, \Phi]) \ \ \ (3)$$ where $\Lambda$ es arbitraria en el álgebra de la Mentira valores de la función.
Ahora podemos definir un producto interior en el espacio de los campos. Para un par de perturbaciones infinitesimales $(\delta_{\alpha}A_i, \delta_{\alpha}\Phi)$ $(\delta_{\beta}A_i, \delta_{\beta}\Phi)$ de un campo (es decir, los vectores de tangentes en el punto que representa el campo) se puede definir su producto interior $$ (\delta_{\alpha}A_i, \delta_{\alpha}\Phi)\cdot(\delta_{\beta}A_i, \delta_{\beta}\Phi)\equiv \int d^3x \{Tr(\delta_{\alpha}A_i\delta_{\beta}A_i)+Tr(\delta_{\alpha}\Phi\delta_{\beta}\Phi)\}$$Suppose then we look for perturbations orthogonal to the unwanted transformations of the form (3) - see the diagram below.$$ 0=(\delta_{\alpha}A_i, \delta_{\alpha}\Phi)\cdot(D_i\Lambda, [\Phi,\Lambda])$$ $$=\int d^3x \{Tr(\delta_{\alpha}A_iD_i\Lambda)+Tr(\delta_{\alpha}\Phi[\Phi,\Lambda])\} $$Integrating the first term by parts (assuming $\Lambda$ vanishes at spatial infinity), and using the cyclic property of trace on the second, our condition for orthogonality becomes $$ \int d^3x \{Tr(D_i(\delta_{\alpha}A_i)\Lambda)+Tr([\Phi,\delta_{\alpha}\Phi]\Lambda)\} =0 $$Pero esto está garantizado por el fondo de calibre condición (2), así que esta es, de hecho, la condición para que el filtrado de las transformaciones no deseadas.
![Gauge Transformations and Moduli Space]()
