Estimación de $\int_e^x \log\log{t}\, dt$ para el error del término en $O\left(\frac{x}{\log^2{x}}\right)$

Question

Cómo puede uno estimar la integral $$\int_e^x \log\log{t}\, dt$$ so that the error term is within $O\left (\frac {x} {\log^2x} \right)$? We may assume that $x > e$.

¿Cualquier sugerencia?

Answer 1

Si integran por partes, terminas con

$$x\log\log\,x-\int_e^x\frac{\mathrm dt}{\log\,t}$$

La última parte se evalúa como $\mathrm{li}(x)-\mathrm{Ei}(1)$, donde $\mathrm{Ei}(x)$ es el integral exponencial, y $\mathrm{li}(x)=\mathrm{Ei}(\log\,x)$ es la integral logarítmica.

Usando esta serie asintótica de la integral exponencial, obtenemos

$$x\log\log\,x-\frac{x}{\log\,x}\left(1+\frac1{\log\,x}+\frac2{(\log\,x)^2}+\cdots\right)$$

Le he dado la cookie, pero es facilitar el relleno de crema...