¿Qué significa la generación de la función $x/(1 - e^{-x})$ recuento?

Question

Deje $x$ ser formal (o pequeño, ya que la función es analítica) de la variable, y considerar el poder de la serie $$A(x) = \frac{x}{1 - e^{-x}} = \sum_{m=0}^\infty \left( -\sum_{n=1}^\infty \frac{(-x)^n}{(n+1)!} \right)^m = 1 + \frac12 x + \frac1{12}x^2 + 0x^3 - \frac1{720}x^4 + \dots$$ donde podría haber cometido un error aritmético en la expansión.

1. Son todos los coeficientes egipcio, en el sentido de que están dadas por $A^{(n)}(0)/n! = 1/N$ $N$ un número entero? La respuesta es no, a menos que cometí un error, por ejemplo, el tercer coeficiente. Pero tal vez cada no-cero coeficiente es egipcio?

2. Si todos los coeficientes fueron positivos egipcio, a continuación, la secuencia de los denominadores podría contar algo, uno espera que el $n$th cualquier elemento de la secuencia de números enteros no negativos, se cuenta el número de maneras de colocar algún tipo de estructura en un $n$-elemento del conjunto.

Por supuesto, la generación de funciones realmente vienen en dos tipos: ordinarias y exponencial. La diferencia es si usted piensa de los coeficientes como $\sum a_n x^n$ o $\sum A^{(n)} x^n/n!$. Si tiene más sentido como una exponencial de generación de función, que es demasiado frío.

Así que mi pregunta realmente es: ¿hay una manera de calcular el $n$th coeficiente de $A(x)$, o, equivalentemente, de la informática,$A^{(n)}(0)/n!$, sin que la expansión de los productos de alimentación de la serie el camino más largo?

Donde usted podría haber visto esta serie

Deje $\xi,\psi$ ser no-desplazamientos variables a lo largo de un campo de característica $0$, y deje $B(\xi,\psi) = \log(\exp \xi \exp \psi)$ ser el Panadero-Campbell-Hausdorff de la serie. La fijación de $\xi$ y a pensar en esto como una potencia de la serie en $\psi$, está dada por $$B(\xi,\psi) = \xi + A(\text{ad }\xi)(\psi) + O(\psi^2)$$ donde $A$ es la serie anterior, y $\text{ad }\xi$ es el operador lineal dada por el colector: $(\text{ad }\xi)(\psi) = [\xi,\psi] = \xi\psi - \psi\xi$.

Más generalmente, $B$ pueden ser escritas en términos del colector, y por lo que hace sentido como un $\mathfrak g$con valores de potencia de la serie en $\mathfrak g$ para cualquier Mentira álgebra $\mathfrak g$. Converge en un barrio de $0$ al $\mathfrak g$ es finito-dimensional sobre $\mathbb R$, en cuyo caso $\mathfrak g$ es un (generalmente no conmutativa) "grupo parcial".

(En general, se puede considerar que el "grupo formal" de $\mathfrak g$. Es decir, tomar el anillo conmutativo $\mathcal P(\mathfrak g)$ de poder formal de la serie en $\mathfrak g$; a continuación, $B$ define un no-cocommutative comultiplication, lo $\mathcal P = \mathcal P(\mathfrak g)$ en un álgebra de Hopf. O más bien, $B(\mathcal P)$ no de la tierra en el algebraicas producto tensor $\mathcal P \otimes \mathcal P$. En su lugar, $\mathcal P$ es cofiltered, en el sentido de que es un límite de $\dots \to \mathcal P_2 \to \mathcal P_1 \to \mathcal P_0 = 0$, donde (más de característica 0, de todos modos) $\mathcal P_n = \text{Poly}(\mathfrak g)/(\mathfrak g \text{Poly}(\mathfrak g))^n$ donde $\text{Poly}(\mathfrak g)$ es el anillo de funciones polinómicas en $\mathfrak g$, e $\mathfrak g \text{Poly}(\mathfrak g)$ es el ideal de las funciones de fuga en $0$. A continuación, $B$ tierras en el cofiltered producto tensor, que es exactamente lo que suena. (En carácter arbitrario, $\mathcal P$ es el cofiltered doble de la filtrada álgebra de Hopf $\mathcal S \mathfrak g$, el álgebra simétrica de $\mathfrak g$, filtrada por grado.))

Por qué me importa

Al $\mathfrak g$ es finito-dimensional sobre $\mathbb R$, e $U$ es el abrir barrio de $0$ que $B$ converge, entonces $\mathfrak g$ actúa como izquierda-invariante derivaciones en $U$, donde por la izquierda-invariante me refiero a que en virtud de la multiplicación $B$. Por lo tanto, hay una canónicas de identificación de la universal que envuelve álgebra $\mathcal U\mathfrak g$ con el álgebra de operadores diferenciales invariantes en $U$. Desde $\mathfrak g$ es un espacio vectorial, el "símbolo" mapa da un canónicas de identificación entre el álgebra de operadores diferenciales en $U$ y el álgebra de funciones en la cotangente del paquete de $T^{\ast} U$ que son polinomio (de manera uniforme delimitada grado) en la cotangente direcciones. A la izquierda invariancia, a continuación, significa que los operadores están unívocamente determinados por sus restricciones a la fibra,$T^{\ast}_0\mathfrak g = \mathfrak g^{\ast}$, y el espacio de polinomios en $\mathfrak g^{\ast}$ es canónicamente el álgebra simétrica $\mathcal S \mathfrak g$. Esto le da un canónica AFP mapa de $\mathcal U \mathfrak g \to \mathcal S \mathfrak g$, un hecho que he aprendido de J. Báez y J. Dolan.

(En el grupo formal del lenguaje, la noncocommutative cofiltered álgebra de Hopf $\mathcal P(\mathfrak g)$ es, precisamente, el cofiltered doble para el filtrado de álgebra $\mathcal U\mathfrak g$, mientras que con su cocommutative de Hopf estructura $\mathcal P(\mathfrak g)$ es dual a $\mathcal S \mathfrak g$. Pero como álgebras de estos son el mismo, y desembalaje de la dualizations da la AFP mapa de $\mathcal U\mathfrak g \cong \mathcal S \mathfrak g$, y explica por qué es realmente un isomorfismo de coalgebras.)

De todos modos, en una dirección, el isomorfismo $\mathcal U\mathfrak g \cong \mathcal S \mathfrak g$ es fácil. Es decir, el mapa de $\mathcal S \mathfrak g \to \mathcal U \mathfrak g$ se da en monomials por el "simetrización mapa" $\xi_1\cdots \xi_n \mapsto \frac1{n!} \sum_{\sigma \in S_n} \prod_{k=1}^n \xi_{\sigma(k)}$ donde $S_n$ es el grupo simétrico de a $n$ letras, y el producto es ordenado. (En este sentido, el isomorfismo de coalgebras es obvio. De hecho, el correspondiente mapa de simetrización en el pleno del tensor de álgebra es una coalgebra homomorphism.)

En la dirección inversa, me puede explicar el mapa de $\mathcal U \mathfrak g \to \mathcal S \mathfrak g$ como sigue. En un monomio $\xi_1\cdots \xi_n$, se actúa de la siguiente manera. Dibujar $n$ puntos en una línea, y con la etiqueta $\xi_1,\dots,\xi_n$. Dibuje flechas entre los puntos de modo que cada flecha va hacia la derecha (a partir de un índice inferior a un índice más elevado), y cada punto tiene 0 o 1 flecha fuera de él. En cada punto, totalmente orden de las flechas entrantes. A continuación, para cada diagrama, evaluar de la siguiente manera. Lo que quiero hacer es contraer cada flecha $\psi\to \phi$ a un punto marcado por $[\psi,\phi]$ en el punto que se $\phi$, pero nunca colapso $\psi\to \phi$ si $\psi$ no tiene flechas entrantes, y si $\phi$ tiene múltiples flechas entrantes, el colapso después de su elegido orden total. Así que al final del día, usted tendrá algunos puntos con flechas a la izquierda, cada una etiquetada con un elemento de $\mathfrak g$; multiplicar estos elementos en $\mathcal S\mathfrak g$. También, multiplicar cada elemento por un coeficiente numérico de la siguiente manera: para cada punto en el diagrama original, vamos a $m$ el número de flechas entrantes, y multiplicar el producto final por el $m$th coeficiente de potencia de la serie $A(x)$. Suma de todos los diagramas.

De todos modos, el párrafo anterior es muy cool, pero sería mejor si el coeficiente numérico puede leer más directamente en el diagrama de alguna manera, sin tener que pensar realmente acerca de la función de $A(x)$.

Answer 1

Dos personas han señalado que ya, pero de alguna manera no me puedo resistir: el poder formal de la serie es precisamente la definición de potencia de la serie de los números de Bernoulli:

http://en.wikipedia.org/wiki/Bernoulli_number#Generating_function

En consecuencia, están muy lejos de Egipto: como ocurrió recientemente en respuesta a la pregunta

Cuando hace la función zeta tomar valores enteros?

el número impar de términos (excepto la primera) son todos cero, mientras que los pares de términos se alternan en signo y crecer rápidamente en valor absoluto, tan sólo un número finito son recíprocos de los números enteros.

Me parece curioso que usted está buscando en esta secuencia de un sofisticado perspectiva y no sabía sus raíces clásicas. Me siento como debería ser una lección aquí, pero no sé exactamente lo que es. He aquí una posibilidad: la de que cada joven matemático debe aprender algunos elementales de la teoría de números, independientemente de sus intereses principales. Comentarios?

Answer 2

He aquí otra manera de llegar a la respuesta. Usted piensa que tiene una secuencia de racionales que pueden ser familiares:

1, 1/2,1/12,0,-1/720,...

Los denominadores parece más interesante que el numerador, así que tal vez el "derecho" de la secuencia es:

1,2,12,1,720,...

Usted va a Sloane Enciclopedia y entrar en la secuencia, en vano. Ahora usted podría intentar superseeker, que se ve en muchas de las transformaciones de la secuencia, pero para este par de términos que volverá demasiados éxitos. Vamos a tratar de la transformación que usted ha mencionado, y mira la exponencial de generación de función, cuyos coeficientes tienen denominadores:

1, 2, 6, 1, 30, ...

Sloane inmediatamente identifica la secuencia como los denominadores de los números de Bernoulli, dando no sólo la generación de la función comenzó con el, pero muchas otras interesantes ideas y referencias.

Answer 3

Los números de Bernoulli están estrechamente relacionadas con la alternancia de las permutaciones. Es decir, las permutaciones como $1524376$ donde los números alternativamente ir arriba y abajo. Específicamente, si $A_n$ es el número de permutaciones de un $n$ element set, luego $$B_{2n} = (-1)^{n-1} \frac{2n}{4^{2n}-2^{2n}} A_{2n-1}.$$ Es posible que usted podría de alguna manera se relacionan sus sumas de diagramas de alternancia de permutaciones.

Answer 4

Mi favorito introducción a los números de Bernoulli es la sección 3 de Pierre Cartier papel Mathemagics. Cito:

Me dicen que son definidos por la ecuación de $(B + 1)^n = B^n$$n \geq 2$, junto con la condición inicial $B^0 = 1$. El significado es el siguiente: expandir $(B + 1)^n$ por el teorema del binomio, a continuación, reemplace el poder $B^k$$B_k$.

Hay un montón de grandes cosas en este papel, además de los números de Bernoulli.

Answer 5

Voy a añadir el siguiente comentario porque puede ser de algún interés para el número de teóricos que reconocen los números de Bernoulli para saber que la relación con la Mentira de la teoría explicada en la pregunta número de la teoría de la sustancia, a saber, en su artículo sobre las tres-pinchado esfera, Deligne utiliza la Mentira de álgebra punto de vista sobre los números de Bernoulli describe en la pregunta (junto con otros ingredientes, por supuesto, y se aplica a un determinado Mentira álgebra) para derivar la fórmula de Euler para los valores de $\zeta(2n)$.