Deje $x$ ser formal (o pequeño, ya que la función es analítica) de la variable, y considerar el poder de la serie $$ A(x) = \frac{x}{1 - e^{-x}} = \sum_{m=0}^\infty \left( -\sum_{n=1}^\infty \frac{(-x)^n}{(n+1)!} \right)^m = 1 + \frac12 x + \frac1{12}x^2 + 0x^3 - \frac1{720}x^4 + \dots $$ donde podría haber cometido un error aritmético en la expansión.
Son todos los coeficientes egipcio, en el sentido de que están dadas por $A^{(n)}(0)/n! = 1/N$ $N$ un número entero? La respuesta es no, a menos que cometí un error, por ejemplo, el tercer coeficiente. Pero tal vez cada no-cero coeficiente es egipcio?
Si todos los coeficientes fueron positivos egipcio, a continuación, la secuencia de los denominadores podría contar algo, uno espera que el $n$th cualquier elemento de la secuencia de números enteros no negativos, se cuenta el número de maneras de colocar algún tipo de estructura en un $n$-elemento del conjunto.
Por supuesto, la generación de funciones realmente vienen en dos tipos: ordinarias y exponencial. La diferencia es si usted piensa de los coeficientes como $\sum a_n x^n$ o $\sum A^{(n)} x^n/n!$. Si tiene más sentido como una exponencial de generación de función, que es demasiado frío.
Así que mi pregunta realmente es: ¿hay una manera de calcular el $n$th coeficiente de $A(x)$, o, equivalentemente, de la informática,$A^{(n)}(0)/n!$, sin que la expansión de los productos de alimentación de la serie el camino más largo?
Donde usted podría haber visto esta serie
Deje $\xi,\psi$ ser no-desplazamientos variables a lo largo de un campo de característica $0$, y deje $B(\xi,\psi) = \log(\exp \xi \exp \psi)$ ser el Panadero-Campbell-Hausdorff de la serie. La fijación de $\xi$ y a pensar en esto como una potencia de la serie en $\psi$, está dada por $$B(\xi,\psi) = \xi + A(\text{ad }\xi)(\psi) + O(\psi^2)$$ donde $A$ es la serie anterior, y $\text{ad }\xi$ es el operador lineal dada por el colector: $(\text{ad }\xi)(\psi) = [\xi,\psi] = \xi\psi - \psi\xi$.
Más generalmente, $B$ pueden ser escritas en términos del colector, y por lo que hace sentido como un $\mathfrak g$con valores de potencia de la serie en $\mathfrak g$ para cualquier Mentira álgebra $\mathfrak g$. Converge en un barrio de $0$ al $\mathfrak g$ es finito-dimensional sobre $\mathbb R$, en cuyo caso $\mathfrak g$ es un (generalmente no conmutativa) "grupo parcial".
(En general, se puede considerar que el "grupo formal" de $\mathfrak g$. Es decir, tomar el anillo conmutativo $\mathcal P(\mathfrak g)$ de poder formal de la serie en $\mathfrak g$; a continuación, $B$ define un no-cocommutative comultiplication, lo $\mathcal P = \mathcal P(\mathfrak g)$ en un álgebra de Hopf. O más bien, $B(\mathcal P)$ no de la tierra en el algebraicas producto tensor $\mathcal P \otimes \mathcal P$. En su lugar, $\mathcal P$ es cofiltered, en el sentido de que es un límite de $\dots \to \mathcal P_2 \to \mathcal P_1 \to \mathcal P_0 = 0$, donde (más de característica 0, de todos modos) $\mathcal P_n = \text{Poly}(\mathfrak g)/(\mathfrak g \text{Poly}(\mathfrak g))^n$ donde $\text{Poly}(\mathfrak g)$ es el anillo de funciones polinómicas en $\mathfrak g$, e $\mathfrak g \text{Poly}(\mathfrak g)$ es el ideal de las funciones de fuga en $0$. A continuación, $B$ tierras en el cofiltered producto tensor, que es exactamente lo que suena. (En carácter arbitrario, $\mathcal P$ es el cofiltered doble de la filtrada álgebra de Hopf $\mathcal S \mathfrak g$, el álgebra simétrica de $\mathfrak g$, filtrada por grado.))
Por qué me importa
Al $\mathfrak g$ es finito-dimensional sobre $\mathbb R$, e $U$ es el abrir barrio de $0$ que $B$ converge, entonces $\mathfrak g$ actúa como izquierda-invariante derivaciones en $U$, donde por la izquierda-invariante me refiero a que en virtud de la multiplicación $B$. Por lo tanto, hay una canónicas de identificación de la universal que envuelve álgebra $\mathcal U\mathfrak g$ con el álgebra de operadores diferenciales invariantes en $U$. Desde $\mathfrak g$ es un espacio vectorial, el "símbolo" mapa da un canónicas de identificación entre el álgebra de operadores diferenciales en $U$ y el álgebra de funciones en la cotangente del paquete de $T^{\ast} U$ que son polinomio (de manera uniforme delimitada grado) en la cotangente direcciones. A la izquierda invariancia, a continuación, significa que los operadores están unívocamente determinados por sus restricciones a la fibra,$T^{\ast}_0\mathfrak g = \mathfrak g^{\ast}$, y el espacio de polinomios en $\mathfrak g^{\ast}$ es canónicamente el álgebra simétrica $\mathcal S \mathfrak g$. Esto le da un canónica AFP mapa de $\mathcal U \mathfrak g \to \mathcal S \mathfrak g$, un hecho que he aprendido de J. Báez y J. Dolan.
(En el grupo formal del lenguaje, la noncocommutative cofiltered álgebra de Hopf $\mathcal P(\mathfrak g)$ es, precisamente, el cofiltered doble para el filtrado de álgebra $\mathcal U\mathfrak g$, mientras que con su cocommutative de Hopf estructura $\mathcal P(\mathfrak g)$ es dual a $\mathcal S \mathfrak g$. Pero como álgebras de estos son el mismo, y desembalaje de la dualizations da la AFP mapa de $\mathcal U\mathfrak g \cong \mathcal S \mathfrak g$, y explica por qué es realmente un isomorfismo de coalgebras.)
De todos modos, en una dirección, el isomorfismo $\mathcal U\mathfrak g \cong \mathcal S \mathfrak g$ es fácil. Es decir, el mapa de $\mathcal S \mathfrak g \to \mathcal U \mathfrak g$ se da en monomials por el "simetrización mapa" $\xi_1\cdots \xi_n \mapsto \frac1{n!} \sum_{\sigma \in S_n} \prod_{k=1}^n \xi_{\sigma(k)}$ donde $S_n$ es el grupo simétrico de a $n$ letras, y el producto es ordenado. (En este sentido, el isomorfismo de coalgebras es obvio. De hecho, el correspondiente mapa de simetrización en el pleno del tensor de álgebra es una coalgebra homomorphism.)
En la dirección inversa, me puede explicar el mapa de $\mathcal U \mathfrak g \to \mathcal S \mathfrak g$ como sigue. En un monomio $\xi_1\cdots \xi_n$, se actúa de la siguiente manera. Dibujar $n$ puntos en una línea, y con la etiqueta $\xi_1,\dots,\xi_n$. Dibuje flechas entre los puntos de modo que cada flecha va hacia la derecha (a partir de un índice inferior a un índice más elevado), y cada punto tiene 0 o 1 flecha fuera de él. En cada punto, totalmente orden de las flechas entrantes. A continuación, para cada diagrama, evaluar de la siguiente manera. Lo que quiero hacer es contraer cada flecha $\psi\to \phi$ a un punto marcado por $[\psi,\phi]$ en el punto que se $\phi$, pero nunca colapso $\psi\to \phi$ si $\psi$ no tiene flechas entrantes, y si $\phi$ tiene múltiples flechas entrantes, el colapso después de su elegido orden total. Así que al final del día, usted tendrá algunos puntos con flechas a la izquierda, cada una etiquetada con un elemento de $\mathfrak g$; multiplicar estos elementos en $\mathcal S\mathfrak g$. También, multiplicar cada elemento por un coeficiente numérico de la siguiente manera: para cada punto en el diagrama original, vamos a $m$ el número de flechas entrantes, y multiplicar el producto final por el $m$th coeficiente de potencia de la serie $A(x)$. Suma de todos los diagramas.
De todos modos, el párrafo anterior es muy cool, pero sería mejor si el coeficiente numérico puede leer más directamente en el diagrama de alguna manera, sin tener que pensar realmente acerca de la función de $A(x)$.
