Pregunta que rodean centros de anillos.

Question

El centro de un anillo $R$ consta de elementos que conmuten con todos los elementos de $R$:$$Z(R) := \{a \in R : ab = ba \text{ for all }b \in R\}.$$I know that $ Z(R)$ es un anillo comutativo unital. Tengo dos preguntas.

1. ¿El centro del anillo $\text{Mat}_n(F)$ $n \times n$ matrices con coeficientes en un campo $F$ consiste en múltiplos de la matriz identidad?
2. ¿Tenemos que $Z(R_1 \times R_2) = Z(R_1) \times Z(R_2)$?

Answer 1

1. Sí.

Deje $A \in \mathrm{Mat}_n(F)$ ser central. Deje $E_{ij}$ el valor del $n \times n$ matriz con $1$ $(i,j)$- ésima y cero en caso contrario.

A continuación, $A E_{ii} = E_{ii} A$ por cada $1 \leq i \leq n$. Pero $A E_{ii}$ resultados de $A$ mediante la eliminación de todas las columnas excepto la $i$-th y $E_{ii} A$ mediante la eliminación de cada fila, excepto la $i$-th. Por lo tanto $A$ debe ser diagonal.

Si $\lambda_1, \dotsc, \lambda_n$ son las entradas de la diagonal de a $A$ $A E_{ij} = \lambda_i E_{ij}$ $E_{ij} A = \lambda_j E_{ij}$ todos los $1 \leq i,j \leq n$, lo $\lambda_i = \lambda_j$ todos los $1 \leq i,j \leq n$.

2. Sí.

Que $(r_1, r_2) \in Z(R_1 \times R_2)$ es equivalente a $$ (r_1 s_1, r_2 s_2) = (r_1, r_2) (s_1, s_2) = (s_1, s_2) (r_1, r_2) = (s_1 r_1, s_2 r_2) $$ para todos los $(s_1, s_2) \in R_1 \times R_2$. Esto es como el mismo $r_1 s_1 = s_1 r_1$ todos los $s_1 \in R_1$ $r_2 s_2 = s_2 r_2$ todos los $s_2 \in R_2$, es decir,$r_1 \in Z(R_1)$$r_2 \in Z(R_2)$.