Encontrar asíntotas a $y = \frac{2x^2 + 3x - 6}{2x + 1}$

Question

Necesito encontrar las asíntotas de $y = \frac{2x^2 + 3x - 6}{2x + 1}$. La asíntota en $x = -1/2$ es claro. Si uno largo se divide puede ver fácilmente que hay una asíntota de $y = x + 1$ $x$ hasta el infinito.

¿Sin embargo, lo que está mal con este razonamiento? Reclamo que como $x$ va hasta el infinito, el término de $2x^2$ dominarán, por lo que el gráfico será del orden de $y = 2x^2$, que tiene no hay asíntota. Así $y = x + 1$ no es una asíntota.

Answer 1

$x \to \infty$, $2x^2$ Es el término dominante en el numerador, mientras que $2x$ es el término dominante en el denominador. Así que el término principal en $y$ es $\frac{2x^2}{2x} = x$. Usted todavía necesita el término constante, que se puede realizar de esta manera: $\frac{2x^2 + 3 x - 6} {2 x + 1} \approx \frac{2x^2 (1 + 3/(2x))} {2 x (1 + 1/(2x))} \approx x \left(1 + \frac{3}{2x}\right) \left(1-\frac{1}{2x} \right) \approx x \left(1 + \frac{3/2-1/2}{x}\right) = x + 1$ $

Answer 2

SUGERENCIA $\ $ La función racional $\rm\ f\: \sim\: a\ x+ b\ \iff\ f\ =\ a\ x + b + g/h,\ $ $\rm\: deg\ g\ <\ deg\ h\:.\:$ por lo Tanto es equivalente a calcular el polinomio ("integral") y las fracciones de $\rm\:f\:$ utilizando el Algoritmo de la División. Tu razonamiento falla debido al hecho de que no correctamente calcular el polinomio parte del cociente. Pero es fácil calcular el polinomio parte sin división:

$\ $ el coeficiente de $\rm\ x^\:$ $\rm\ 2\ x^2 + 3\ x + 6\ =\ (2\ x + 1)\ (x + q) + r\ \ \Rightarrow\ \ 3\ =\ 2\:q + 1\ \ \Rightarrow\ \ q = 1$

Por lo tanto podemos deducir que el polinomio parte es $\rm\ x + q\ =\ x + 1\ $ $\rm\ y = x+1\ $ es una asíntota.