Convergencia débil de convergencia fuerte en $W^{1,p}_0$ y $L^p$

Question

Tengo un almacén de secuencia $(u_n)$ $W^{1,p}_0(\Omega)$ que converge débilmente a $u\in W^{1,p}_0(\Omega)$ y converge fuertemente a$u$$L^p(\Omega)$. Definimos una función de $f:\Omega\times \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ un almacén de Carathéodory función tal que $\lim_{s\rightarrow+\infty} f(x,s)=f^{+\infty}(x)$

Mi pregunta es ¿por qué $$\lim_{n\rightarrow +\infty} \int_{\Omega}f(x,u_n)(u_n-u) dx=0$$ and $$\lim_{n\rightarrow +\infty}\int_{\Omega} |u_n|^{p-2} u_n(u_n-u) dx=0$$

para la primera integral, estoy tratando de aplicar Lebesgue convergencia dominada, pero no tengo idea.

Para la segunda integral, al $p=2$ yo no tengo ningún problema, porque en este caso no hemos $|u_n|^{p-2}$ es igual a 1 y, a continuación, sólo tengo que hacer $u_n(u_n-u)=(u_n-u+u)(u_n-u)$ y yo uso la de Cauchy-Schwarz desigualdad, pero al $p$ no es igual a 2, no tengo idea.

Gracias

Answer 1

Que $K$ el límite superior de $f$, y suponiendo que $\Omega$ es un dominio acotado y $1\le p\le\infty$, en particular que $u_n-u\in L^1(\Omega)$, que $$|\int_\Omega f(x,u_n)(u_n-u)\,dx|\le K\|u-u_n\|_{1,\Omega}\to 0 $n\to\infty$.

También $$\int_\Omega |u_n|^{p-2}u_n(u_n-u)\,dx\le\int_\Omega|u_n|^{p-1}|u_n-u|\,dx$ $$$ \le\|u_n\|_{p,\Omega}^{p-1}\|u_n-u\|_{p,\Omega}\to 0 $n\to\infty$