¿Derivado del cuadrado del derivado de la?

Question

Estaba tratando de resolver esta ecuación diferencial:

$$2yy'' + 3y'^2 = 4y^2 $$

Y he encontrado esta manera solver se: http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/ode/ode0344.pdf , pero no entiendo por qué $w'_y = y''_{xx}$. Si $w(y) = (y'_x)^2$, cómo puede encontrar esto:

$$ \dfrac{d}{dy}\bigg(\dfrac{dy}{dx}\bigg)^2$$

Answer 1

Por la regla de la cadena, $$\frac{d}{dy}\left(\frac{dy}{dx}\right)^2=\frac{dx}{dy}\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)^2.$ $

Ahora uso el hecho de que $\dfrac{dx}{dy}=\dfrac{1}{\dfrac{dy}{dx}}.$

Calcular el $\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{dy}{dx}\right)^2$ usando la regla del producto. Cuando juntamos las cosas, hay algunos cancelación agradable, sin duda, que significa que hay una simple razón conceptual.

Answer 2

Aquí hay algo que no puede ser correcta:

$$\frac{dw}{dy} = \frac{dw}{dx}\frac{dx}{dy} = \frac{2y'y''}{\frac{dy}{dx}} = 2y'' $$

Lo curioso es que esto lograr el resultado dado por la referencia si agregamos $y''+f(y)(y')^2 + g(y) = 0$ a sí mismo y hacer la sustitución.

Answer 3

Esto dará un tiro. Que $z=\frac{dy}{dx}$

$$\frac{dw}{dx}=\frac{dz^2}{dy}=2z\frac{dz}{dy}=2z\times\frac{\frac{dz}{dx}}{\frac{dy}{dx}}=2z\times\frac{(\frac{d^2y}{dx^2})}z=2\frac{d^2y}{dx^2}$$

Esto parece reducir la ecuación a

$$yw'+3w=4y^2$$

$$w'+\frac{3w}y=4y$$

Answer 4

Vamos a configurar luego $\ w(y):=(y_x')^2\ $: $$\frac {dw(y)}{dx}=\frac {dw(y)}{dy}\frac {dy}{dx}=\frac {d\left(\left(\frac {dy}{dx}\right)^2\right)}{dx}=2\frac {dy}{dx}\frac {d^2y}{dx^2}$ $ del segundo y cuarto término obtenemos (si $\frac {dy}{dx}\not = 0$): $$\frac {dw(y)}{dy}=2\frac {d^2y}{dx^2}$ $