De tiro libre de pregunta de la entrevista

Question

Recientemente tuve una pregunta de la entrevista que plantea la siguiente... Supongamos que usted está disparando tiros libres y cada disparo tiene un 60% de posibilidades de ir (no hay aprendizaje "efecto" y "amortización" en efecto, todos tienen una cierta probabilidad de no importa cuántos golpes de tomar).

Ahora hay tres escenarios en los que puedes ganar $1000

1. Realizar al menos 2 de 3
2. Realizar al menos 4 de 6
3. Hacer al menos 20 de los 30

Mi idea inicial es que ambas son igualmente atractiva ya que todos requieren el mismo porcentaje de tiros libres tiros. Sin embargo, al utilizar un binomio de la calculadora (que este proceso parece ser) P (X > x) parece ser el más alto para el escenario 1. Es esto debido a que el número de combinaciones?

Answer 1

El resultado está ligado a la Ley de los grandes números, que, básicamente, establece que los juicios más que hacer algo, cuanto más cerca se llega a la probabilidad esperada. Así que después de 10.000 ensayos, yo esperaría a ser proporcionalmente más cerca de 6000 de estar cerca de 60 después de 100 ensayos.

El punto aquí es que en todos estos casos, la proporción es $\frac23$ - es decir, mayor que la probabilidad esperada de 60%. Ya que para números más grandes, vamos a estar más cerca de la probabilidad esperada de 60%, lo que significa que son menos propensos a estar por encima de $\frac23$.

Si desea cambiar los parámetros ligeramente - y preguntar cuál es la probabilidad de éxito en más de 55% de los casos, por ejemplo, entonces quieres ver el completo opuesto sucediendo.

Answer 2

$P(\#1) = \binom{3}{2}\cdot{(\frac{60}{100})}^2\cdot{(\frac{40}{100})}^1+\binom{3}{3}\cdot{(\frac{60}{100})}^3\cdot{(\frac{40}{100})}^0 = 0.648$

---

$P(\#2) = \binom{6}{4}\cdot{(\frac{60}{100})}^4\cdot{(\frac{40}{100})}^2+\binom{6}{5}\cdot{(\frac{60}{100})}^5\cdot{(\frac{40}{100})}^1+\binom{6}{6}\cdot{(\frac{60}{100})}^6\cdot{(\frac{40}{100})}^0 = 0.54432$

---

$P(\#3) = \sum\limits_{n=20}^{30}\binom{30}{n}\cdot{(\frac{60}{100})}^n\cdot{(\frac{40}{100})}^{30-n} = $ siéntase libre de hacer los cálculos de ti...

---

En general, usted necesita demostrar que la siguiente secuencia es monótonamente decreciente:

$A_k = \sum\limits_{n=2k}^{3k}\binom{3k}{n}\cdot{(\frac{60}{100})}^n\cdot{(\frac{40}{100})}^{3k-n}$

Creo que debe ser bastante fácil hacerlo por inducción...

Answer 3

Debido a que su número esperado de éxitos es menor que el número necesario para ganar, usted necesita para obtener un poco de suerte para tener éxito. Eso es mucho más difícil para muestras grandes: si tuviera que obtener 2/3 de mil tiros, usted estaría en muy mal estado; que, incluso, llegar 1/1 de un solo tiro es de un 60% de probabilidad.

Así que la explicación intuitiva es: perder en el largo plazo, por lo que necesita de varianza para ganar. El más pequeño es el tamaño de la muestra, mayor será el impacto de la varianza.

Answer 4

Es una interfaz intuitiva resultado especialmente si se considera el caso extremo de tener que conseguir el 100% para ganar; es más probable que la puntuación 3/3 de 30/30.

Answer 5

Precisamente hablando, cada tiro libre es un ensayo de Bernoulli con probabilidad de éxito $p = 0.6$. Por lo tanto:

• el valor esperado de un solo tiro es $p$ y la varianza es $p(1-p) = 0.24$.
• la muestra la proporción de éxitos de $n$ ensayos tiene valor esperado $p$, pero la varianza es $p(1-p)/n$

Esto significa que aunque la proporción esperada de éxito permanece constante, la varianza disminuye como una función de la $n$.

Intuitivamente nos dice que la probabilidad de observar un ejemplo de proporción, al menos, tan grande como $\frac23$ es una función decreciente del tamaño de la muestra $n$: como la varianza de la distribución de muestreo es pequeño, más probabilidad de masa se concentra alrededor de la media. Dado que la media es de menos de $\frac23$, es menos probable observar los resultados en el exceso de $\frac23$.

Por el contrario, se convierte en más probable observar los resultados en el exceso de un valor que es menor que la media.