¿Nosotros podemos reconstruir DE su solución general?

Question

Si pensamos en una ecuación diferencial como un 'problema' y el conjunto de todas las soluciones DE la DE como la "solución general", entonces mi pregunta es esta:

Pregunta:

Bajo qué circunstancias podemos reconstruir el problema de la solución general?

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Vamos a hacer que sea más preciso.

Definición 1. Siempre que $X$ es un subconjunto de a $\mathbb{R}$ $f : \mathbb{R}^n \times X \rightarrow \mathbb{R}$ una función, definir ese $S(f)$ es el conjunto de todas las soluciones $y : X \rightarrow \mathbb{R}$ a la educación a distancia

$$y^{(n)}(x) = f(y^{(n-1)}(x),\cdots,y^{(0)}(x),x),\quad x \in X.$$

Podemos pensar de $f$ como el 'problema' y $S(f)$ como la " solución general.'

Pregunta:

¿Qué condiciones necesita ser añadido a $f$ y/o $X$ en la definición anterior, para garantizar que la solución de la función $S$ es una inyección? (Que es, uno-a-uno).

Observación. Este es todavía un lugar impreciso manera de formular la pregunta, y cualquier sugerencia para hacer lo mejor sería apreciada. Por favor, deje un comentario!

Answer 1

El siguiente es un intento de utilizar la Mentira de la simetría de método en sentido inverso. No tengo idea si funciona en general, o si el DE obtener es único.

Supongamos que usted ha $y = g(x;\theta_1, \theta_2, \theta_3, ..., \theta_n)$, donde cada una de las $\theta_i$ es una constante de integración parametrización un la solución. Encontrar $y_{\theta_1}$

Queremos encontrar un cambio de coordenadas $y\rightarrow h(y,x) = u$ tal que $u_{\theta_1}=1$. Si podemos hacer esto, podemos utilizar nuestra solución para escribir $u$ como una función de la $x$ y las distintas constantes de integración. Sin embargo, desde la $u_{\theta_1}=1$, esperamos que $u$ va a tomar la forma $u = g_2(x;\theta_2,\theta_3,...,\theta_n)+\theta_1$. Vamos, a continuación, tomar la derivada de w.r.t. $x$ a eliminar la $\theta_1$ dependencia. Esto se hará de forma recursiva hasta que todas las constantes de integración se eliminan.

$$ u_{\theta_1} = h_yy_{\theta_1} = 1\\ h_y = y_{\theta_1}^{-1} $$

Vamos a intentar un ejemplo. $y = \theta_2\ln(x)+\theta_1+\frac{x^2}{4}$

Aviso, ya tenemos algo de la forma $g(x;\theta_2,\theta_3,...,\theta_n)+\theta_1$, por lo que podemos omitir el primer paso (es decir, buscando un cambio de coordenadas) y apenas se diferencian.

$$y' = y_1 = \frac{\theta_2}{x}+\frac{x}{2}$$

Ahora se aplica el método descrito anteriormente.

$$\frac{\partial y_1}{\parcial \theta_2} = \frac{1}{x} \implica h_{y_1} = x \implica que h(x,y_1) = xy_1 $$

Nota, esta $h$ no está definida de forma única. El uso de esta $h$, dejamos $ y_1 = \frac{u}{x}$. La DE hace $$u = \frac{1}{2}x^2+\theta_2 \implies u' = x$$

De nuevo sustituto.

$$ \frac{dy_1}{dx} = \frac{u}{x}-\frac{u}{x^2} = 1 - \frac{y_1}{x} $$

Y $y_1=y'$, por lo que obtenemos

$$ y" = 1-\frac{y'}{x}$$

Esto se ajusta a la solución original.