Si a, b, c son lados de un triángulo, prueba: $ \sqrt{a+b-c} + \sqrt{b+c-a} + \sqrt{c+a-b} \le \sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} $

Question

Sustituir $a=x+y, b=x+z, c=y+z$ y llegué a $\sqrt{2x} + \sqrt{2y} + \sqrt{2z} \le \sqrt{x+y} + \sqrt{x+z} + \sqrt{y+z}$. Sin embargo, después de esto, probé varios métodos como AM-GM y desigualdad de Cauchy-Schwarz para horas y todavía no puede probarlo. ¿Alguien puede ayudar por favor? Gracias.

Answer 1

$\sqrt{x}$ Es cóncava hacia abajo, la desigualdad de Jensen nos dice
$ \dfrac 12 ( \sqrt{2x} + \sqrt{2y}) \leq \sqrt{ \dfrac{ 2x + 2y } 2 } = \sqrt{x+y}$.
Cíclicamente la suma da el resultado deseado.