Todas las raíces del polinomio en el disco unidad abierto

Question

Sé que por aquí que para un polinomio $p(z)=a_0+a_1z+...+a_nz^n$ $0<a_0\leq a_1\leq...\leq a_n$ todas las raíces están en el disco de unidad cerrada.

¿Qué condición debemos conseguir que todas las raíces están en el disco unidad abierto? Estaba pensando que tal vez algunos $a_i\neq a_{i+1}$. ¿Pero no sé cómo demostrar que?

Answer 1

El resultado que usted menciona es conocido como el Eneström-Kakeya teorema. Condiciones necesarias y suficientes para cuando las raíces del polinomio mentira en la frontera de la región están dadas por Anderson, Saff, y Varga en el papel

N. Anderson, E. B. Saff, y R. S. Varga, En el Eneström-Kakeya teorema y su nitidez, Álgebra Lineal Appl. 28 (1979), 5-16.

El papel está disponible gratuitamente desde Varga sitio web aquí.

Answer 2

Aquí es una condición suficiente: asumir que $0 < a_0 < \dots < a_n$. Conjunto de $\tilde p(z) = p(rz)$. $r < 1$, Lo suficientemente cercano a 1, $\tilde p$ satisface las condiciones en tu post original y por lo tanto son todos ceros de $\tilde p$ en el disco de la unidad, lo que implica que todos los ceros de $p$ están en el disco con radio $r$.