El número de 3 dígitos todos números de abc para que abc + ab + bc + CA + a + b + c = 29

Question

El número de 3 dígitos todos números abc (en base 10) que $\ abc+ab+bc+ac+a+b+c = 29$ es
(A) 6
(B) 10
(C) 14
(D) 18

Mi trabajo:
$\ ab (c + 1) +b (c + 1) + a(c + 1) + c + 1 = 30$
$\ (a + 1) (b +1) (c+1) = 30 $
$\ 9>a>0$
$\ 0\le b,c<9$

El problema que estoy enfrentando:
No sé cómo averiguar el no. de soluciones para que esto es cierto.

Answer 1

$$(a+1)(b+1)(c+1)=30$$

Número Total de formas para satisfacer la ecuación anterior:

1. $30 = (2,3,5)$ da $6$ valores para $a+1,b+1,c+1$ $(i.e., a=1, b=2, c=4)$
2. $30 = ( 1 , 6 ,5)$ da $6$ valores para $a+1,b+1,c+1$ $(i.e., a=0, b=5, c=4)$
3. $30 = (1,3,10)$ da $6$ los valores de $a+1,b+1,c+1$ $(i.e., a=0, b=2, c=9)$

---

En el primer caso tenemos a $6$ valores de $a,b,c$ $(1,2,4)$ puede tomar cualquier dígito por lo tanto pueden ser dispuestos en $3!$ maneras.

En el segundo caso tenemos a $4$ valores de $a,b,c$ $(0,5,4)$. $0$ no puede ser como primer dígito. A continuación, $abc$ $2$ número de un dígito ( contrario a la condición dada ). Por lo tanto, tenemos $ 2.2.1$ número de maneras .

De manera similar, en el tercer caso tenemos $4$ valores $a,b,c$ $(0,2,9)$. $0$ no puede ser como primer dígito. A continuación, $abc$ $2$ número de un dígito ( contrario a la condición dada ). Por lo tanto, tenemos $ 2.2.1$ número de maneras .

Por lo tanto, el número total de maneras:

$$3!+2\times 2\times1+2\times 2\times1=6+4+4=14 \space \text{ways}$$

Answer 2

El primer fctorisation $30$ es $5\times3\times2$. El único pedido 3-uples $a+1,b+1$ y $c+1$ donde $a+1 \in [2,10]$ y $b+1,c+1 \in [1,10]$ son: $$(2,3,5),(2,5,3),(3,1,10),(3,2,5),(3,5,2),(3,10,1),(5,1,6),(5,2,3),(5,3,2),(5,6,1),(6,1,5),(6,5,1),(10,1,3),(10,3,1)$ $

Por lo que las soluciones son: $$124,142,209,214,241,290,405,412,421,450,504,540,902,920$ $

Answer 3

Un enfoque rápido de fuerza bruta para averiguar el número de soluciones:

Código de JavaScript, pegar en la consola del explorador para una prueba rápida.

for(i=100;i<=999;i++){
    a=i.toString();
    //Take the individual characters(the digits) of the string, increment by 1 and multiply.
    if(++a[0]*++a[1]*++a[2] === 30){
        console.log(i);
    }
}

Esto da los siguientes 14 números:
124 142 209 214 241 290 405 412 421 450 504 540 902 920

Answer 4

Otro enfoque de fuerza bruta, usando Python:

[100*a+10*b+c for a in range(1,10) for b in range(10) for c in range(10)\ if a*b*c+a*b+b*c+a*c+a+b+c == 29]

rendimientos[124, 142, 209, 214, 241, 290, 405, 412, 421, 450, 504, 540, 902, 920]