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Deje $A$ ser el anillo $\frac{2}{3} \le |z| \le \frac{3}{2}$. Para una secuencia $a_n \in \mathbb{C}$, definir $f_{a_n}(z) = f(a_n z)$$B_{a_n} = \{a_n z : z \in A \}$.
$B_{a_n}$ es un anillo con radio interior $|a_n|\frac{2}{3}$ y radio exterior $|a_n|\frac{3}{2}$.
Deje $a_n = n$, n entero positivo. Deje $g_{n_k}$ ser el subsequence de $f_n$ garantizado por la declaración. A continuación, cualquiera de $g_{n_k} \to \infty$ uniformemente en $A$ o $g_{n_k} \to g$ uniformemente en $A$ para una analítica de la función $g$.
En el segundo caso, $g$ es analítica para $g(A)$ está acotada. El uso de convergencia uniforme, se puede ver que Hay un $M$ tal que $f_{n_k}(B) < M$ todos los $k$ lo suficientemente grande. Esto significa $f(z) < M$ todos los $z \in B_{n_k}$, $k$ lo suficientemente grande. La imitación de la prueba de Liouville del teorema que utiliza la Integral de Cauchy Fórmula, esto demuestra que $f(z)$ es constante.
En el primer caso, para cualquier $M$, se pueden lograr $|f_{n_k}(z)| > M$ $k$ lo suficientemente grande. Si además, para $k$ suficientemente grande, $B_{n_k} \cap B_{n_{k+1}}$ no es emtpy, entonces esto muestra $f(z) \to \infty$$z \to \infty$.
Por otro lado, si hay infinitamente muchos $k$ $B_{n_k} \cap B_{n_{k+1}}$ vacía, entonces tenemos que mirar lo que sucede en estos "huecos". Tenga en cuenta que el radio exterior de $B_{n_k}$ es en este caso estrictamente menor que el radio interior de $B_{n_{k+1}}$. Esta "brecha" es un anillo abierto, sino $f$ es analítica en el cierre. Supongamos que esas diferencias no contiene un cero de $f$. Entonces el número Mínimo de Módulo Teorema dice que el módulo de $f$ en la brecha es al menos tan grande como el mínimo de módulo en el límite, y así en la brecha de la $f|(z)| > M$.
Por lo tanto, si sólo un número finito de lagunas contienen ceros, de nuevo vemos que el$f(z) \to \infty$$z \to \infty$.
Por último, supongamos que hay infinitamente $n_k$ $B_{n_k} \cap B_{n_{k+1}}$ vacía, e infinitamente muchos de estos "huecos" contienen un cero de $f$. Para el $m$-ésimo de la brecha de elegir un cero $b_m$,$|b_m| < |b_{m+1}|$$|b_m| \to \infty$. Estos $b_m$ definir una nueva secuencia $f_{b_m}$ de las funciones en $A$, una larga de la que converge uniformemente. Pero en este caso no convergen uniformemente a $\infty$, debido a que cada función de la secuencia tiene un cero en $z = 1$. A continuación, como en la prueba del segundo caso, $f$ debe ser constante.
