Endomorphisms, sus representaciones matriciales y relación a la similitud

Question

Esta pregunta es realmente cortos general preguntas para aclarar algunas confusiones. Vamos a empezar con el lugar donde estoy en:

Un endomorfismo $\phi$ es un mapa de un espacio vectorial $V$ a sí mismo. Después de elegir una base $\mathcal{B}$$V$, uno puede determinar una matriz para representar a un endomorfismo con respecto a la base, decir $[\phi]_{\mathcal{B}}$.

Pregunta 1) Si una matriz sin una base especificado, usted podría deducir una única endomorfismo corresponde? (mi magra es no)

Pregunta 2) En una similitud de transformación, decir $A=SDS^{-1}$ donde $D$ es diagonal, $S$ es la matriz de cambio de base de una base a otra. Mi pregunta es, desde el $D$ es la diagonal significa que la matriz $D$ es el mismo endomorfismo como $A$ con respecto a la norma base en $\mathbb{R^{n}}$. O somos incapaces de determinar que las bases están implicados si sólo se dan las matrices.

Pregunta 3) Dada una matriz relativa a un endomorfismo, es posible determinar la base utilizada para representar el endomorfismo. (Lean sí)

Pregunta abarcadora) estoy tratando de entender lo que sucede en la similitud de las transformaciones. Entiendo que de entrada un vector, un cambio de base se le aplica, el endomorfismo es aplicado con respecto a la nueva base, y luego se cambió de nuevo a la base, pero mi confusión se relaciona con la construcción de la matriz de similitud. Si una matriz es diagonalizable, entonces $S$ resulta ser el autovectores dispuestos en un orden prescrito. ¿Por qué es esto! ¿Por qué los vectores propios para el endomorfismo $\phi$ con respecto a una base actúan como una matriz de cambio de base, y en qué se basa para que ir? Esto es realmente una parte de la pregunta 2. ¿Esto de enviar los vectores de la base estándar? O alguna otra base que le pasa a diagonalize el endomorfismo.

Gracias!

Answer 1

1) No. La elección de la base determina un endomorfismo que la matriz corresponde y, en general, diferentes opciones de base dará diferentes endomorphisms. (Que, por supuesto, todas similares.)

2) No. Considere el caso de que $A$ no es diagonal. Dos matrices tienen las mismas entradas, si y sólo si representan la misma transformación lineal con respecto a un fijo .

3) No. Esta es la misma pregunta 1).

4) Para ver esta concretamente, escribir la condición de $AS = SD$ $D$ una matriz diagonal de forma explícita. Para ver esto de una manera abstracta, deje $T$ ser una transformación lineal con respecto a una base $e_i$, y supongamos que se tiene una base $v_i$ de los vectores propios con autovalores $\lambda_i$. A continuación, $T$ es diagonal con respecto a la base $v_i$. Si $S$ denota la transformación lineal que envía a $v_i$$e_i$, luego $$STS^{-1}(e_i) = ST v_i = S \lambda_i v_i = \lambda_i S v_i = \lambda_i e_i$$

por lo $STS^{-1}$ es diagonal con respecto a la base $e_i$. Ahora, lo anterior es una declaración acerca de las transformaciones lineales que es independiente de la base. Escrito todo lo anterior en términos de la base $e_i$ le da la correspondiente declaración acerca de las matrices, y en esa declaración $S^{-1}$, más o menos, por definición, la matriz cuyas columnas son las entradas de $v_i$ (con respecto a la base $e_i$).

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Muchas veces he pensado que los elementales de álgebra lineal sería menos confuso si se hace explícita cuando cambian las bases de uno que realmente está trabajando con dos espacios vectoriales; primero el original espacio vectorial $V$ a uno le importa, y segundo, el concreto espacio vectorial $\mathbb{C}^n$ donde$n = \dim V$, con su distinguida. Una base para $V$ es equivalente a la elección de un isomorfismo $f : \mathbb{C}^n \to V$ y el cambio de las bases corresponde a la evolución de la elección de este mapa. Fundamentalmente, hay dos maneras naturales para hacer esto: realice una composición previa con un automorphism $\mathbb{C}^n \to \mathbb{C}^n$ o postcompose con un automorphism $V \to V$. Los dos dan el mismo resultado, pero la noción de igualdad aquí es, en sí misma depende de la elección de $f$.

En la categoría de teoría, se dice que el finito-dimensional espacio vectorial (sobre un campo fijo) de una determinada dimensión es única hasta el isomorfismo, pero no es el único que hasta el único isomorfismo, y así, cuando la identificación de los diferentes espacios vectoriales uno debe hacer un seguimiento de las identificaciones uno utiliza o se corre el riesgo de perderse sin remedio.

En otras palabras, cuando se trata de objetos que son isomorfos, pero para que el isomorfismo no es única, es mejor comportarse como si son de diferentes objetos, incluso si son en algún sentido "de la misma."

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Podría ayudar a pensar de la misma transformación lineal con respecto a dos bases diferentes de funcionamiento en dos diferentes tipos de datos. Es decir, con respecto a una determinada base $\mathcal{B}$, la correspondiente matriz tal vez debería ser pensado como una función que acepta y escupe "$\mathcal{B}$- " tipo de vectores, y con respecto a una base diferente a $\mathcal{C}$ acepta y escupe $\mathcal{C}$-tipo de vectores. Estas operaciones son compatibles, pero para especificar la compatibilidad usted necesita para convertir de $\mathcal{B}$vectores de tipo a $\mathcal{C}$-tipo de vectores y de vuelta otra vez, y esto es exactamente lo que el cambio de base de la matriz se supone que debe hacer.

El cambio de base de la matriz, por tanto, tiene diferentes tipos de entrada y salida.

Answer 2

Qiaochu la respuesta es un gran tratamiento, pero creo que #3 fue despedido un poco de prisa.

Como he leído, #1 y #3 no son lo mismo: mucho más es dado para la #3, es decir, se obtiene tanto de la matriz y una transformación y el hecho de que estén relacionados.

Así que mi lectura de la #3 es:

Si se nos dice que una matriz $B$ es una matriz para la transformación $f$ en términos de un desconocido base $\beta$, puede que los elementos de $\beta$ ser recuperados de forma explícita?

Solucionar cualquier base que te gusta, llame a $\alpha$, y expresar $f$ como una matriz de $A$ correspondiente a dicha base. Ya sabemos que corresponden a la misma transformación, sabemos $A$ $B$ son similares a través de una nonsingular matriz $X$. Esta matriz $X$ es una matriz de cambio de base, que convierte entre los coeficientes en términos de misterio base $\beta$ y los de nuestros conocidos base $\alpha$.

Cualquiera de las $X$ o su inverso se convierta de $\beta$ a $\alpha$ dependiendo de cómo se configura, así que vamos a elegir la que va en esta dirección y re-etiquetar es $X$. Supongamos también que hemos estado utilizando la multiplicación de la matriz a la izquierda de la columna de vectores.

Para encontrar $\beta_1$, por ejemplo, calcular los $Xe_1$ donde $e_1$ es la unidad de columna del vector con $1$ en el primer lugar. (Que es la representación de $\beta_1$ base $\beta$.) La salida es de los coeficientes de $\beta_1$ representado en términos de $\alpha$, por lo que sólo puede organizar estos coeficientes en frente de la conocida base de los elementos y añadir todo hasta obtener $\beta_1$. El $\beta_i$ son recuperados utilizando la otra unidad de vectores $e_i$.

Supongo que podría haber algo de dificultad en la práctica, pero, teóricamente, esto parece el sonido. No puedo decir si el último párrafo está trabajando en ello o no.

Añadido: Jack Schmidt me señaló la fuga en mi idea: $X$ no está unívocamente determinado, ya que, por ejemplo, $B$ podría ser auto-similar por un nonidentity matriz $Y$ y, a continuación, $A=X^{-1}BX=(YX)^{-1}B(YX)\dots$ #3 es todavía un problema indeterminado en general. Es aún más decidido que el #1, pero no tan decididos como yo quería.

Answer 3

Comentario:

Vamos $n=\dim V$, $A$ una matriz dada $n \times n$ con las entradas en commutatif campo $\mathbb K$ y dejar que nos considere el mapa : $f_A : \mathbb K^n \to \mathbb K^n $ de manera tal que , si $X=(x_1,...,x_n) \in \mathbb K^n$ $f_A(X)=A \;^tX$ podemos prueba de que $A$ es la matriz de $f_A$ sobre la base canónica de $\mathbb K^n$ , lo $B_0=(e_i)_{1 \leq i \leq n}$ donde $e_i=(\delta_{ij})_{1 \leq j \leq n}$ y $\delta_{ij}=0$ si $i \neq j$ $\delta_{ij}=1$ si $i=j$

Si $B$ es de alguna base de $V$ existe un único isomorphisme $\phi : V \to \mathbb K^n$ sush que $\phi(B)=B_0$ entonces tenemos : $g_{\phi}= \phi^{-1} \circ f_A \circ \phi$ es el único mapa de $V$ $V$representado bahía $A$ sobre la base $B$.

Conversly todos lineal mapa de $V$ $V$representado por $A$ sobre alguna base $B$ $V$ el de $ g_{\phi}$ donde $\phi$ es algunos isomorphisme de$V$$\mathbb K^n$. Precisamente, $\phi$ es el único isomorfismo de $V$ $\mathbb K^n$que trnsforms la base $B$ $V$ a la base canónica $B_0$$\mathbb K^n$.