¿Cuál es la longitud de penetración del campo eléctrico estático en los metales conductores?

Question

¿Cuál es la longitud de penetración del campo eléctrico estático en los buenos conductores?

Tengo dos versiones: (1) pocos espacios atómicos

$$a\sim n_{e}^{-1/3},$$

y (2) la longitud de Debye calculada por la energía de Fermi $\varepsilon_{F}$ (no la temperatura)

$$\lambda_{D}=\sqrt{\varepsilon_{F}/4\pi e^2 n_{e}}.$$

La primera variante es preferible porque $$n_{e}\lambda_{D}^3<1.$$

Answer 1

El modelo de profundidad de penetración no funciona para un buen metal, pero está bien para un semiconductor moderadamente dopado. La profundidad de penetración que se obtiene es menor que un Angstrom para un buen conductor. Esto significa que los electrones de la superficie están esencialmente confinados en la primera capa atómica, con algo de campo que entra en las siguientes capas, y los detalles de los orbitales atómicos y las interacciones electrónicas son necesarios para calcular exactamente cómo se va el campo eléctrico.

Modelo de profundidad de penetración

Aquí, se asume que el potencial entra en un jellium autoconsistente, que es una densidad de carga positiva uniforme más un gas de Fermi casi libre. El potencial desplaza los niveles de energía de los electrones, y lo tienes en cuenta rellenando los niveles en el potencial. Pero tienes en cuenta las interacciones de los electrones modificando el potencial según la densidad de carga inducida.

Si a un metal jelio se le impone un potencial V, la densidad numérica de los electrones en cualquier punto puede calcularse semiclásicamente sin error significativo, como sigue. El volumen del espacio de fase ocupado por los electrones en una caja de lado $\Delta$ a un potencial electrostático $\phi$ es:

$${4\pi\over 3} (2m(E_f+e\phi))^{3\over 2} \Delta^3$$

donde m es la masa del electrón, e es la magnitud de su carga y $E_f$ es la energía de Fermi. Dividiendo esto por $h^3 = (2\pi \hbar)^3$ da el número de estados ocupados. Esto da inmediatamente la densidad de electrones en un potencial que varía lentamente

$$n(x) = {1 \over 6\pi^2} (\sqrt{ k_f^2 + {2em \phi\over \hbar^2}})^3$$

Mientras que el modelo del jelio no es bueno para los estados bajos, que ven un potencial eléctrico no uniforme de los núcleos localizados, sigue siendo un buen material modelo con una superficie de Fermi esférica, y está bien para las estimaciones de orden de magnitud incluso lejos de una superficie de Fermi esférica. El punto es que la densidad numérica real no es lo que importa, es sólo la variación en la densidad numérica dada una cierta V(x) lo que importa, y esto puede ser preciso incluso cuando la densidad numérica en sí misma es muy errónea, porque los estados profundos por debajo de la superficie de Fermi no son correctos en el modelo.

En cualquier caso, expandiendo esta densidad al orden más bajo en V y multiplicando por -e se obtiene la densidad de carga electrónica dado un potencial externo impuesto:

$$\rho(x) = - {1\over 6\pi^2} e k_f^3 + {2\over \pi} k_f {e^2\over 4\pi\hbar c} {mc\over \hbar} \phi(x)$$

El primer término puede identificarse como la densidad de carga constante de los electrones en ausencia de potencial, y se cancela por la carga positiva del jellium. El término restante da una densidad de carga proporcional al potencial, lo que conduce al apantallamiento de los campos estáticos.

Cuando $\rho$ es proporcional a V, $\rho= k V$ la ecuación de Laplace se convierte en la ecuación de Poisson

$$ \nabla^2 \phi = 4\pi \rho = 4\pi k \phi$$

La longitud de cribado inversa se encuentra resolviendo la versión 1d, y es $\sqrt{4\pi k}$ . Para el problema particular anterior, la longitud de cribado $l_s$ está dada por:

$$ l_s^{-1} = \sqrt{8 k_f \alpha \over \lambda}$$

Donde $\alpha = {1\over 137}$ es la constante de estructura fina, $\lambda$ es la longitud de onda Compton del electrón por $2\pi$ . La combinación ${\alpha \over \lambda}$ es el radio de Bohr, así que esto es realmente

$$ l_s^{-1} = \sqrt{8 k_f \over a_0}$$

La longitud de cribado es la media geométrica del momento inverso de Fermi y del radio de Bohr dividida por la raíz cuadrada de ocho.

Para un buen metal, el momento inverso de Fermi es de aproximadamente un Angstrom, aunque puede ser mucho más largo en un semiconductor. El resultado es inferior a un Angstrom y, por tanto, no es físico. En este régimen, las suposiciones utilizadas para derivar el jellium autoconsistente se rompen.

Por lo tanto, el modelo de profundidad de penetración no es correcto para un buen metal, y requiere un momento de Fermi que sea unas 10-100 veces menor que el espacio de la red para ser bueno. Esta es la situación en un semiconductor, pero no en los metales buenos.