¿Cómo puedo probar que una orden ("$<$" diga) en$\mathbb Z_n$ no puede ser definida?

Question

Estoy tratando de demostrar por qué no es posible definir un orden de magnitud en $\mathbb Z_n$ (aritmética modular) que satisface las propiedades del orden de $\mathbb Z$.

Por dejar que además de ser $\oplus$ y la multiplicación $\otimes$, sé que lo siguiente acerca de $\mathbb Z_n$:

1. Cerrado en$\oplus$$\otimes$.

2. $\oplus$ $\otimes$ son conmutativas.

3. $\oplus$ $\otimes$ son asociativas.

4. $0$ $\oplus$ identidad y $1$ $\otimes$ identidad.

5. Cancelación: $(-a) \oplus a = 0$.

6. $$a \otimes (b \oplus c) = a \otimes b \oplus a \otimes c,$$

   $$(b \oplus c) \otimes a = b \otimes a \oplus c \otimes a .$$

¿Cómo puedo demostrar que al menos una de las propiedades del orden de $\mathbb Z$ no se cumple para $\mathbb Z_n$?

Voy a ser sin duda el uso de las propiedades del orden de $\mathbb Z$:

1. exactamente uno de $a < b$ o $a = b$ o $a > b$ mantiene;

2. si $a < b$$b < c$,$a < c$;

3. si $a < b$$a + c < b + c$;

4. si $a < b$$c > 0$$a \cdot c < b \cdot c$.

En una forma en la que puedo ver que una de estas propiedades se derrumbaría en $\mathbb Z_n$, pero no puedo demostrarlo. Por contradicción, tal vez? (comienzan con $a < b$ y encontrar terminar con $a > b$?)

Cualquier ayuda la agradezco mucho.

Answer 1

Pruebalo $1>0$. Concluye esto $n-1 >0$. Ahora agregue$1$ a ambos lados.

Answer 2

Es una de 1943 teorema de F. W. Levi que para un conmutativa grupo $(G,+)$ los siguientes son equivalente:

(i) No existe una relación de orden total $\leq$ $G$ que es compatible con el grupo la ley en el sentido de que para todos los $x_1,x_2,y_1,y_2 \in G$, $x_1 \leq y_1, \ x_2 \leq y_2 \implies x_1 + x_2 \leq y_1 + y_2$.

(ii) $G$ es torsionfree: para todos los $x \in G$ y $n \in \mathbb{Z}^+$, $nx = 0 \implies x = 0$.

Una prueba (y una cita a Levi de papel) se da en $\S 17.2$ de estas notas.

Tenga en cuenta que la implicación (i) $\implies$ (ii) - que es lo que se pide aquí -- es, por mucho, la más fácil, y el argumento que dan para esto no es diferente que en las otras respuestas. (Por lo que esta respuesta es mayor para aquellos con un interés más general en ordenadas conmutativa grupos).

Answer 3

SUGERENCIA $\ \: $ ordenada$\Rightarrow$ sin torsión:$\rm\ x>0\ \Rightarrow\ n\cdot x > 0\ \Rightarrow\ n\cdot x \ne 0\ \ $ para integral$\rm\ n > 0$