¿Existe una ecuación que contenga infinito y no sea igual a 0 o infinito?

Question

¿Existe una ecuación que contenga infinito y que no sea igual a 0 o infinito? Mi educación matemática se detuvo en la comprensión deficiente de la trigonometría, así que por favor no me mates.

OK, entonces la pregunta que quería hacer era si alguna 'operación' usando infinito como 'factor' producirá 0 o +- infinito. Lo veía como si el infinito fuera un agujero negro que engulle todo a su lado del igual, luego el igual mismo, y luego el otro lado siempre que no sea x0. La única cosa capaz de no dar infinito es multiplicar (¿o dividir, verdad?) por 0 o menos infinito. Por lo que entiendo ahora, el símbolo de infinito representa la posibilidad de un número que crece constantemente y que no es finito...no necesariamente "infinito" o algo infinito. Entonces... ¿se puede decir que ninguna función\ecuación\operación\expresión incluso contiene un número infinito, ya que bloquearía dicha acción?

Answer 1

Antes de responder tu pregunta, permíteme primero aclarar lo que creo que es un punto de confusión. En matemáticas formales, $\infty$ no es un número. La razón por la que los matemáticos no tratan a $\infty$ como un número es que si lo hiciéramos, llegaríamos a algunas conclusiones que claramente son incorrectas.

Por ejemplo, una propiedad que tienen los números es que puedes restar el mismo número de ambos lados de una ecuación y la ecuación seguirá siendo verdadera. Por ejemplo, puedo restar $1$ de ambos lados de la ecuación $x+1=4$ para obtener $x=3$. Por otro lado, si trato a $\infty$ como un número regular y resto $\infty$ de ambos lados de la "ecuación" $\infty + 1 = \infty$, termino con $1=0$, lo cual es claramente falso.

En cambio, los matemáticos piensan en $\infty$ como un límite. A grandes rasgos, esto significa que si quieres "enchufar" $\infty$ en una función, enchufas números cada vez más grandes y ves qué sucede a largo plazo. Por ejemplo, escribimos $$\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0$$ para significar que "a medida que enchufas números cada vez más grandes en la función $f(x)=1/x$, la función se acerca arbitrariamente a cero." Debes convencerte de que este límite en particular es correcto. En algunos casos, el límite es infinito; todo esto significa es que, a medida que enchufas números cada vez más grandes en la función, la función se vuelve arbitrariamente grande. Por ejemplo,

• $\lim_{x\to\infty} x = \infty$.
• $\lim_{x\to\infty} x^2 = \infty$.

Para responder tu pregunta, prácticamente cualquier cosa puede suceder cuando $\infty$ está involucrado. Veamos los dos ejemplos que acabo de dar. Aunque ambas funciones $f(x) = x$ y $g(x) = x^2$ van hacia el infinito a medida que $x$ tiende a infinito, la segunda crece mucho más rápido. Un caso en cuestión: $f(100)=100$ y $g(100)=10\,000$. De hecho, $g(x)$ crece tan rápido que la diferencia $g(x) - f(x)$ (recuerda que esto es simplemente $x^2-x$) también va hacia infinito cuando $x$ tiende a infinito. Puedes convencerte de esto enchufando valores. En símbolos, $$ \lim_{x\to\infty} (x^2 - x) = \infty.$$ Así que, hablando informalmente, ¡es posible que $\infty-\infty=\infty$!

Si este resultado te parece contra intuitivo, es porque estás pensando en los dos infinitos del lado izquierdo de la ecuación $\infty-\infty=\infty$ como el mismo $\infty: de hecho, son diferentes. El primer $\infty$ proviene de la función $g(x)=x^2$, y en cierto sentido es más grande que el $\infty$ de la función $f(x)=x$ ya que $x^2$ crece mucho más rápido que $x$ lo hace.

En cualquier caso, puedes encontrar otras funciones (es decir, puedes acercarte a $\infty$ a diferentes velocidades) que hacen ciertas afirmaciones verdaderas:

• $\infty-\infty$ puede ser cualquier cosa entre $-\infty$ y $+\infty$.
• $\infty/\infty$ puede ser cualquier cosa entre $-\infty$ y $+\infty$.
• $\infty^0$ puede ser cualquier cosa entre $0$ y $+\infty$.

Finalmente, puede haber casos en los que enchufar $\infty$ no te dé ninguna respuesta en absoluto. Si tomaste trigonometría, probablemente estés familiarizado con la función seno, cuyo gráfico oscila hacia atrás y hacia adelante, como una onda, entre $-1$ y $+1$. (Intenté poner una imagen del gráfico del seno aquí, pero no pude hacerlo funcionar ya que soy nuevo en este sitio. Simplemente busca "gráfico del seno" en Google imágenes y verás a qué me refiero.) Si enchufas números cada vez más grandes en $\sin(x)$, no te acercarás a ningún número fijo. Por lo tanto, $\sin\infty$ no existe.

Answer 2

Sí. Hay muchos límites que involucran el infinito donde la respuesta no es $\infty$ o $0$. Por ejemplo:

$$\lim_{x\to\infty} \frac{2x-1}{x+3}=2$$

$$\lim_{x\to\infty} \left(1+\frac1x\right)^x=e$$

¿Esto responde a la pregunta que estabas haciendo?

Answer 3

Ciertamente una ecuación como $1/\infty+r$ será igual a $r$, por lo que se pueden obtener valores finitos definidos distintos de cero también. Pero más comúnmente, tal ecuación no tiene un valor único bien definido en absoluto: $\infty-\infty$ puede ser cualquier número real o ninguno.

Por ejemplo, podemos encontrarnos con una expresión de la forma $\infty-\infty$ al intentar evaluar $\lim_{n,k\to\infty} n-k$. Entonces, dependiendo de cómo $n$ y $k$ crezcan en relación el uno al otro, esta "$\infty-\infty$" puede comportarse de muchas maneras: por ejemplo, si $k=n$ entonces obtenemos el caso natural $\infty-\infty=0$. Por otro lado, si $k=n+m$ entonces obtenemos $\infty-\infty=1-m. ¡Esa es una forma de decir que el límite general en realidad no existe, lo que muestra que las ecuaciones que involucran $\infty$ no tienen necesariamente un valor específico. Otra forma de ver esto: si piensas que $\infty+1=\infty,$ entonces deberíamos tener $\infty-\infty=1$! Así que realmente no podemos simplemente hacer cálculos con este símbolo.

Existen sistemas de números alternativos como los números hiperreales y surreales en los que algo muy similar al símbolo $\infty$ es en realidad un número, es decir, extensiones de los números reales con elementos infinitamente pequeños y infinitamente grandes. El más simple tiene un elemento llamado $\varepsilon$ que es más pequeño que todos los reales positivos pero mayor que $0$. Entonces $1/\varepsilon$ es mayor que todos los números reales, y algo así como tu $\infty$. Pero luego, para que estos nuevos símbolos se comporten como números, también debemos admitir cosas como $2\varepsilon$ y $-\varepsilon^2$, por lo que todavía no hay una noción única correspondiente a $\infty. De todos modos, en tal sistema hay muchas ecuaciones que involucran $\infty$ que se evalúan en números finitos y no nulos: por ejemplo, ya no tenemos $\infty+1=\infty,$ porque los números infinitamente grandes aún obedecen las reglas usuales de la aritmética.

Answer 4

La función en la que estás pensando es una función con asíntotas. Por ejemplo, $f(x) = \dfrac{1}{x}$ nunca alcanza $x=0$. De manera similar, otras funciones solo existen dentro de ciertos dominios y rangos, dependiendo de la función misma. Entonces, para responder a tu pregunta, sí, existen funciones que ni pasan por 0 ni tienden a $\infty$. De hecho, a menudo se usan comúnmente en matemáticas.

Answer 5

Estás expresando un malentendido común sobre el número real extendido $+ \infty$. En realidad, no es diferente de cualquier otro número en el sentido de que simplemente representa una única cantidad, no algún concepto misterioso de un objeto que crece sin límite.

La única diferencia real entre un número real ordinario y $+ \infty$ es que $+ \infty$ no es un punto en la recta numérica. Aunque podemos considerar un objeto geométrico más grande - la recta numérica extendida, que agrega dos puntos finales a la recta numérica ordinaria.

La aritmética de los números reales extendidos no es muy complicada: en su mayoría es sentido común, y la única dificultad es que todas las operaciones aritméticas recogen el mismo tipo de sutilezas que ves con la división. Por ejemplo, $(+ \infty) + (- \infty)$ se deja indefinido por razones similares al hecho de que $0/0$ se deja indefinido.

Como ejemplo de esta dificultad, piensa en resolver $x = 2x-1$. Normalmente, restarías $x$ de ambos lados para simplificar la ecuación: pero eso solo está permitido si la resta está realmente definida. ¡Y si no sabes que $x \neq \pm \infty$ entonces no sabes si la resta está permitida! Necesitas dividir el problema en tres casos: en el caso 1, asumimos que $x = + \infty$, en el caso 2 asumimos que $x = - \infty$, y en el caso 3, asumimos que $- \infty < x < + \infty$ y resolvemos de la manera normal. Resulta que $x = 2x-1$ en realidad tiene tres soluciones: $x = 1/2$, $x = + \infty$ y $x = - \infty

Una lista de diferentes hechos aritméticos incluye

Algunos ejemplos de

• $x \leq + \infty$ para todo $x$
• $x \geq - \infty$ para todo $x$
• $ x + (+ \infty) = + \infty$ siempre que $x \neq - \infty$
• $ x + (- \infty) = - \infty$ siempre que $x \neq + \infty$
• $(- \infty) + (+ \infty)$ no está definido
• $x+y = y+x$ para todo $x, y$, cuando está definido
• $(x+y)+z = x+(y+z) $ para todo $x, y, z$, cuando está definido
• $ x \cdot (+ \infty) = + \infty$ siempre que $x > 0$
• $ x \cdot (+ \infty) = - \infty$ siempre que $x < 0$
• $ 0 \cdot (+ \infty)$ no está definido
• $x \cdot y = y \cdot x$ para todo $x, y$, cuando está definido
• $(xy)z = x(yz) $ para todo $x, y, z$, cuando está definido
• $x / (+ \infty) = 0$ si $x \neq \pm \infty$
• $(+ \infty) / x = + \infty$ si $0 < x < + \infty$
• $x/0$ está indefinido

y así sucesivamente. Puedes calcular la aritmética de los números reales extendidos a través de límites si quieres: por ejemplo, si olvidaste las tablas de adición que dicen que $(+ \infty) + (+ \infty) = + \infty$, entonces podrías averiguarlo calculando

$$ (+ \infty) + (+ \infty) = \lim_{\substack{x \to + \infty \\ y \to + \infty}} x + y = (+ \infty)$$

Por supuesto, hacer las cosas al revés: usar números reales extendidos para ayudar a calcular límites - es algo más útil.

No cometas el error de confundir $+ \infty$ con el concepto de una variable que aumenta sin límite - en cambio, deberías pensar en $+ \infty$ como el punto en la recta numérica al que se aproxima dicha variable.