Podemos inferir la existencia de periódicos soluciones a los tres-problema de cuerpo de evidencia numérica?

Question

Hace poco me enteré sobre el descubrimiento de 13 bonito periódico soluciones a los tres cuerpos de problema, descrito en el documento

Tres Clases de Newtoniana de Tres Cuerpo Planas de los Periódicos de las Órbitas. Milovan Šuvakov y V. Dmitrašinović. Phys. Apo. Lett. 110 no. 11, 114301 (2013). arXiv:1303.0181.

Estoy particularmente impresionado por cómo elaborar las soluciones son, y estoy sorprendido por la tentadora pista de una infinidad de otras distintas órbitas dada por la analogía con un grupo libre. Las soluciones pueden ser vistos en los Tres cuerpos de Galería, que tiene animaciones de la nueva órbitas en el espacio real y en algo que se llama la 'forma de la esfera", que se describe en el papel.

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Yo era consciente ya de la figura de ocho de la solución, que se describe muy bien en

Una nueva solución para el problema de los tres cuerpos de tres y más. Proyecto De Ley De Casselman. AMS Característica de la Columna.

y que fue descubierto numéricamente por Christopher Moore (Phys. Apo. Lett. 70, 3675 (1993)). Entiendo que la figura de ocho solución que se ha probado que existe realmente como una solución de la ODA problema, en

Una Notable Solución Periódica de los Tres cuerpos de Problema en el Caso de Masas Iguales. Alain Chenciner y Richard Montgomery. Ann. Math 152 no. 3 (2000), pp 881-901.

También hay una gran clase de soluciones llamado $N$-cuerpo coreografías por Carlés Simó, en el que un número de cuerpos - posiblemente más de tres, todos siguen la misma curva. Simó encontrado una gran clase de ellos en el año 2000 (DOI/pdf), a pesar de esta buena revisión (DOI) parece implicar que formal theorematic la prueba de que no existen como periódico soluciones de la ODA problema es que aún falta.

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Así que, esto me lleva a mi pregunta. Para las simulaciones numéricas, sin embargo bien que hacer con ellos, al final sólo tendrá un número finito de precisión aproximación a una solución de la ecuación diferencial que se propaga por un tiempo finito. Además, usted podría hacer un numéricos de análisis de estabilidad que sugiere fuertemente (o rigurosamente prueba?) que son (o no son) en una órbita estable. Sin embargo, esto está bastante lejos de un riguroso teorema de existencia de una órbita periódica con la simetría.

Con esto en mente, entonces, en qué espíritu son estas simulaciones? Es puramente numérico enfoque, en la esperanza de que el bien numéricos indican la existencia, pero con una rigurosa prueba de la izquierda a los matemáticos a través de cualquier otro medio que puede manejar? O es que hay algunos generales teorema que indica la existencia de una verdadera solución periódica después de un determinado umbral? ¿Qué herramientas existen para demostrar la existencia teoremas de periódico soluciones?

Answer 1

Parece que fueron capaces de demostrar rigurosamente la existencia de la N-cuerpo coreografías utilizando el intervalo de Krawczyk método para mostrar que un mínimo de existir para el variacional problema resuelto en el subespacio completo de la fase de espacio de satisfacer algunas de las condiciones de simetría.

Siguiendo los enlaces que figuran he encontrado este artículo donde explican el método. No es exactamente un poquito de material de lectura, pero en la página 6 dicen: "Si todas estas condiciones se cumplió, luego de Teorema 4.5 estamos seguros de que en el conjunto de $Z \times \{c_0\}$ no es una condición inicial para la coreografía. Por otra parte, como el conjunto Z es generalmente muy pequeña, la forma de la demostró la coreografía es muy similar a nuestra primera aproximación."

Suena como que empieza con "una estimación inicial", que son capaces de mostrar que existe una "solución exacta" muy cerca de este valor inicial. Y uno que probablemente puede obtener una curva que es arbitrariamente cerca de la solución real haciendo más y más precisas de cálculo. Pero la existencia de la coreografía se establece rigurosamente con la ayuda de su método numérico.

Tenga en cuenta que en el comienzo del artículo, se mencionan las soluciones obtenidas por los habituales métodos numéricos como "soluciones producido en una forma no rigurosa forma numérica."

Answer 2

No es la respuesta que quieres, pero... Hice las lecturas de algunas de las fuentes anteriores. Y tenía mis ojos en algunos N-problemas con el cuerpo.

¿Qué puedo decir - no simpléctica enfoque en $[0,\infty]$ es inestable por defecto. Método de Runge-Kutta, cualquier métodos de cuantificación inestables. La ausencia de estabilidad es el problema general. Para muchos de los $[0,\infty]$ de los problemas.

La búsqueda de periódico $[0,T]$ es casi la misma solución de $[0,\tau]$ con algunos matices.

Pero, básicamente, no hay respuesta a la siguiente pregunta (que es básicamente ergodic, pero más profundo y sofisticado como $3n+1$ problema):

¿Cuánto tiempo se requiere para el cuerpo para liberarse de la velocidad y salir del sistema como una función de las condiciones iniciales?

El simpléctica enfoque puede crear virtual "real" la solución a la que se mueve con alguna serie o de otra expansión de la técnica. A continuación, puede extraer series a lo largo de la serie y gire problema simbólicas caos. No hay campo de la investigación actual.

App1. ¿Qué es esta llamada "coreografía"?

1. Encontrar el $F([0,T])$ solución. Es bien conocido enfoque probado para muchas ecuaciones. T es muy limitada parámetro. Lo que si hay es enumerable cantidad de órbitas. Estos hallazgos son divertidos, pero que son útiles? Simetrías no ayuda cuando se quiere de cuerpo libre de la solución.
2. Cuando lo están engañando con $1/r$ parte de los potenciales - es muy malo, porque si ellos se ven obligados a hacer esto, hacer todas las cosas mal desde el principio. Cuantización de tiempo de Runge-Kutta y otros similares "de Taylor de orden fijo" métodos están mal en su interior al acercarse a la inicial $[0,\infty]$ problema. Pero ellos están trabajando en el proceso iterativo de la corrección de error en el modo de $[0,\tau]$. Así que, básicamente, estos chicos están haciendo $[0,\tau]$, cuando tienen suerte, se lo metió en la $[0,T]$ solución para pequeñas $T$, y de la llamada "correcto". Pero básicamente es un trabajo de nivel de tarea para algunos numérica curso de la universidad acerca de Taylor ODE métodos.

Tienen solución numérica del problema, pero no hay prueba de que este esquema numérico es absolutamente integrable en órbita. Para la integración en órbita, uno debe describir el mecanismo con el que la adición de más de computación, permite tener $$\Delta(\text{solution at any time})<\epsilon$$ para cualquier $\epsilon$ y en cualquier momento. Cada técnica con tiempo cuantificado la integración conduce a $$\Delta(\text{solution})\sim \exp (t). $$

Por lo que podría no ser absolutamente integrable, usted no es libre en la elección de $\epsilon$.