Estoy un poco confundido acerca de la prueba del Lema 2.4 en la página 76 de Hartshorne de la Geometría Algebraica:
Lema 2.4
(a) Si $\mathfrak{a}$ $\mathfrak{b}$ son homogéneos ideales en $S$,$V(\mathfrak{a}\mathfrak{b})=V(\mathfrak{a})\cup V(\mathfrak{b})$.
(b) Si $\{ \mathfrak{a}_i\}$ es cualquier familia de la homogéneos ideales de $S$,$V\left(\sum\mathfrak{a}_i\right)=\cap V(\mathfrak{a}_i)$.
Prueba
Las pruebas son las mismas que para (2.1 a,b), teniendo en cuenta el hecho de que un ideal homogéneo $\mathfrak{p}$ es primo si y sólo si para cualquier par de elementos homogéneos $a,b \in S$, $ab \in \mathfrak{p}$ implica $a \in \mathfrak{p}$ o $b \in \mathfrak{p}$.
Ahora yo no veo por qué tenemos que utilizar este hecho sobre homogénea de los números primos. No podemos simplemente definir $V'(\mathfrak{a})=\{\text{primes } \mathfrak{p} \text { of }S\;|\; \mathfrak{p}\supseteq \mathfrak{a}\}$, y, a continuación,$V(\mathfrak{a})=\text{Proj }S \cap V'(\mathfrak{a})$, por lo que por el Lema 2.1
$$\begin{array}{rll}V(\mathfrak{a}\mathfrak{b})&=&\text{Proj }S \cap V'(\mathfrak{a}\mathfrak{b}) \\ \text{(by 2.1)}&=&\text{Proj }S \cap \left( V'(\mathfrak{a}) \cup V'(\mathfrak{b}) \right) \\ &=&\left(\text{Proj }S \cap V'(\mathfrak{a})\right) \cup\left(\text{Proj }S \cap V'(\mathfrak{b}) \right) \\ &=& V(\mathfrak{a}) \cap V(\mathfrak{b})\end{array}$$
y lo mismo para (b)?
