Si se ve como un toro sólido, camina como un toro sólido, y charlatanes como un toro sólido, ¿es un toro sólido?

Question

Si un colector 3 orientable$M$ tiene límite el toro$S^1\times S^1$ y deforma retrae a un toro sólido$S^1\times D^2$, es necesariamente homeomorfo a un toro sólido?

Equivalentemente, si el complemento de un nudo en una deformación orientable cerrada de 3 colectores se retrae a un círculo, ¿es el complemento de nudo un toro sólido?

Answer 1

Sí, esto es cierto.

En primer lugar, desde $\partial M \hookrightarrow M$ no $\pi_1$-inyectiva, por el Bucle Teorema no es un propiamente incrustado 2-disc $(D,\partial D) \hookrightarrow (M,\partial M)$ tal que $\partial D$ no vinculado a un disco en el torus $\partial M$.

Segundo, dejando $N$ regular barrio de $\partial M \cup D$, la superficie de la $\partial N$ es una separación de 2-esfera $S \subset \text{interior}(M)$. Deje que los cierres de los componentes de $M-S$ $M_1,M_2$ donde $\partial M \subset M_1$.

Tercero, por la hipótesis de la inclusión $M_1 \hookrightarrow M$ es inyectiva en a $\pi_1$. Por lo tanto, al del teorema de Van Kampen, $M_2$ es simplemente conectado.

Cuarto, por la Conjetura de Poincaré, ahora Perelman del Teorema, $M_2$ es una 3-bola (antes de Perelman se utiliza para lanzar en la hipótesis de "asumir la $M$ no contiene falso 3-bola").

De ello se desprende que $M$ es un sólido toro.